2円の交点を通る直線とか円

質問

2円の交点を通る直線とか円を求めるとき
確かkf(x1y1)＋g(x2y2)＝0って感じだったと思うんですけど
どうしてkを使うんですか?
しかも一つの円だけにkをかける意味がわかりません。
どっちの円にかけてもいいんですか?

うろ覚えなのですが
K＝－1になったら円で
k≠－1になったら直線
とかいうのもあった気がして、もっと混乱してます。

回答No.5

take008 · ベストアンサー

> でも、抜けるというのがよくわかりません…。

mf(x,y)＋ng(x,y)＝0　（m=n=0 ではない）…(1)

は，交点を通る「すべての円と直線」を表しています。
（m,n にいろいろな値を入れることによって）

k=m/n とおくと，kf(x,y)＋g(x,y)＝0 …(2)
は，「f(x,y)=0 以外のすべての円と直線」を表しています。

mf(x,y)＋ng(x,y)＝0　（m+n=1）…(4)
は，「すべての円」を表しています。

------
ax+by=c はすべての直線を表すが
y=mx+n は，y軸に平行な直線が抜ける

と同じようなことです。

お礼

あ～なるほど!わかりました!
ありがとうございました!!!

回答No.4

take_5

mf(x,y)＋ng(x,y)＝0としなければならない場合があります。

(例題)
2直線：7x+5y+3＝0、6x+11y-4＝0の交点を通る直線のうちで、直線：6x+11y＝0に平行なものを求めよ。

この問題では、mf(x,y)＋g(x,y)＝0　では駄目です。
面倒でも、mf(x,y)＋ng(x,y)＝0としたほうが良いです。

回答No.3

take008

No.2 さんの補足です

mf(x,y)＋ng(x,y)＝0　…(1)
より
k=m/n とおくと，kf(x,y)＋g(x,y)＝0 …(2)
k=n/m とおくと，f(x,y)＋kg(x,y)＝0 …(3)
とできますが，例外があります。
(2)は(1)のうち，n=0 の場合，すなわち f(x,y)=0 が抜けます。
(3)は(1)のうち，m=0 の場合，すなわち g(x,y)=0 が抜けます。
両方とも含めたいときは，(1)を使います。
このとき，当然「m=n=0 ではない」という条件が必要です。
「m+n≠0」とすると，直線が抜けて，円だけになります。
この場合，「m+n=1」に制限しても同じです。

お礼

補足ありがとうございます。
でも、抜けるというのがよくわかりません…。

回答No.2

freedom560

＞2円の交点を通る直線とか円を求めるとき確かkf(x1y1)＋g(x2y2)＝0って感じだったと思うんですけど
正確には
kf(x,y)＋g(x,y)＝0
ですね。

＞どうしてkを使うんですか?
あなたがkよりlが好きならlを使ってもかまいません。

＞しかも一つの円だけにkをかける意味がわかりません。
mf(x,y)＋ng(x,y)＝0
ってやってもいいんですが、両辺をnで割ってください。
(m/n)f(x,y)＋g(x,y)＝0
になりますね？ここでm/n=kとおくと
kf(x,y)＋g(x,y)＝0
になります。つまり、両方の円にかけてもあまり意味がないわけです。

＞どっちの円にかけてもいいんですか?
もちろんです。mf(x,y)＋ng(x,y)＝0を両辺mで割って(m/m)=kと置いても問題ないですよね？

＞うろ覚えなのですが
＞K＝－1になったら円で
＞k≠－1になったら直線
＞とかいうのもあった気がして、もっと混乱してます。
円の方程式は(x-a)^2+(y-b)^2=c^2ですよね？
kf(x,y)＋g(x,y)＝0
に
f(x,y)=(x-a)^2+(y-b)^2-c^2
g(x,y)=(x-d)^2+(y-e)^2-f^2
を代入します。すると、
k{(x-a)^2+(y-b)^2-c^2}+{(x-d)^2+(y-e)^2-f^2}=0
となりますよね？
これを展開すると、
(k+1)x^2-2(ak+d)x+(k+1)y^2-2(bk+e)y+(a^2+b^2-c^2)k+d^2+e^2-f^2=0
になります。これはk≠-1の時は円の式ですね？

ここでk=-1を代入するとx^2とy^2の項が消えて
2(a-d)x+2(k-e)y-(a^2+b^2-c^2)+d^2+e^2-f^2=0
になりますね？
これは直線の式です。

お礼

私のは間違ってたんですね…。
分かりました。ありがとうございました。

回答No.1

kyofu-chan

両方に掛けてもよいですが、結局同じことです:

au + bv = 0 ＜－＞ u + (b/a)v (a ≠ 0)

各円周は各方程式を満たす (x, y) の集合です。
円周同士の交点は、両方の方程式を満たす (x, y) ということです。
だから、(書かれているものは間違っていますが) 例の k の式が成り立ちます。

お礼

両方かけても同じなんですね。
ありがとうございました。