• ベストアンサー

2円の交点を通る円

高校数学で2円f(x,y)=0,g(x,y)=0の交点を通る円は、kをパラメータとして、 kf(x,y)+g(x,y)=0 と教えていますが、高校生にはちょっと難しいようです。円kf(x,y)+g(x,y)=0が、2円f,gの交点を通ることは理解できるようようですが、f,gの交点を通る任意の円が、kf(x,y)+g(x,y)=0と表記できることを理解させるにはどうすればよいでしょうか。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#47975
noname#47975
回答No.5

O(0,0),A(a,b)(b≠0、b=0の場合は割愛します。)の2点を通る円の方程式の一般系を考えると、円の中心は、線分OAの二等分線上にある事から、二等分線の方程式はy = -a/b(x-a/2) + b/2なので、 中心のx座標をtとおくと、中心の座標は、(t,-a/b(t-a/2)+b/2)と なります。 ここで、円の方程式は、 (x - t)^2 + (y-{-a/b(t-a/2)+b/2})^2 = t^2 + {-a/b(t-a/2)+b/2}^2 より、 x^2 - 2tx + y^2 + 2{(a/b)t-(a^2/2b+b/2)}y = 0----(1) になります。すなわち、O、Aの2点を通る円の方程式は、全て、 (1)の形式で表されます。 ここで、f(x,y) = 0をt=t1, g(x,y)をt=t2と置くとき、 f(x,y) = x^2 - 2t1x + y^2 + 2{(a/b)t1 -(a^2/2b+b/2)}y = 0 g(x,y) = x^2 - 2t2x + y^2 + 2{(a/b)t2 -(a^2/2b+b/2)}y = 0 kf(x,y) + g(x,y) = (k+1)x^2 - 2(kt1+t2)x + (k+1)y^2 + 2(a/b){(kt1+t2) -(k+1)(a^2/2b + b/2)}y = 0 ------ (2) k=-1ならばkf(x,y)+g(x,y) = 0は直線になるので、k+1≠0のみ について考えればよい事から、(2)式の両辺を(k+1)で割れば、 x^2 - 2(kt1+t2)/(k+1)x + y^2 + 2(a/b){(kt1+t2)/(k+1) -(a^2/2b + b/2)}y = 0 ------- (3) ここで、 t = t3となるようなkの値が存在するかを確認すれば、 g(x,y) = x^2 - 2t3x + y^2 + 2{(a/b)t3 -(a^2/2b+b/2)}y = 0 (3)式と恒等的に等しくなるには、 -2(kt1+t2)/(k+1)x = -2t3x-------(4) 2(a/b){(kt1+t2)/(k+1) -(a^2/2b + b/2)}y = 2{(a/b)t3 -(a^2/2b+b/2)}y-----------(5) (4)より、 (kt1+t2) = t3(k+1) (t1-t3)k = t3-t2 k = (t3-t2)/(t3-t2) (5)も同様の方程式になるので、 t1≠t3となるようなkの値は存在する事がいえます。 すなわち、t1≠t3となるような任意のt3に対応する円の方程式は kf(x,y) + g(x,y) = 0と表す事が出来ます。 なお、t1=t3となるようなt3のときの円の方程式は、f(x,y)=0になるので、 これは、kf(x,y)+g(x,y)=0の形式では表せません。

ojisan7
質問者

お礼

ありがとうございます。

ojisan7
質問者

補足

ていねいに計算して頂き、ありがとうございます。 ところで、kの幾何学的意味は何でしょうかね?

その他の回答 (4)

  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.4

 #2です。 >kf(x,y)+g(x,y)=0は、fとgの線形結合が0ということであり、fとgは線形従属であることを意味しているように見えます。  kf+g=0が任意のkに対する恒等式であることを失念されていませんか。fとgは互いに線形従属になるということにはなりません。  どんなkの値でも常に成り立つということが重要です。方程式と同じように捉えないで下さい。

ojisan7
質問者

お礼

ありがとうございます。

  • Quattro99
  • ベストアンサー率32% (1034/3212)
回答No.3

kf(x,y)+g(x,y)=0、k≠-1が2円の交点を通る円(f(x,y)=0を除く)を表していることは交点を代入すると成り立つのですぐわかります。 一方で、2円の交点を通る円(f(x,y)=0以外)を考えたとき、交点以外のその円上の点をどこでもいいので1つkf(x,y)+g(x,y)=0に代入するとkが定まります(その点ではf(x,y)≠0)。 すると、その時、この方程式はその円を表す方程式ということになります。どの「2円の交点を通る円」でもkが求まりますから、任意に表すことが出来ていることになります。

ojisan7
質問者

お礼

ありがとうございます。

ojisan7
質問者

補足

確かに、f(x,y)=0の円外の任意の点であれば、kが求まりますので、そのことから、「f,gの交点を通る任意の円を表すことができる」と結論できそうですね。

  • Mr_Holland
  • ベストアンサー率56% (890/1576)
回答No.2

 kに関する恒等式の逆を使ったと説明したら、いかがでしょうか。  たとえば、任意のkに対して常に恒等式:kf+g=0が成り立つこととf=g=0とは同値なので、f=g=0は即ち恒等式:kf+g=0が成り立つといってはいかがでしょうか。(必要ならば、証明を示して)  そして、kf+gをxとyで表したとき、   ax^2+bx+ay^2+cy+d=0 (ただし、a(b^2+c^2-4ad)>0 ) という円の方程式の形に変形されることを示されてはいかがでしょうか。

ojisan7
質問者

お礼

ありがとうございます。

ojisan7
質問者

補足

kf(x,y)+g(x,y)=0は、fとgの線形結合が0ということであり、fとgは線形従属であることを意味しているように見えます。このことは、線形代数的には、どのように解釈すればよいでしょうか。また、kの幾何学的意味は何でしょうか。

  • rui2007
  • ベストアンサー率20% (63/302)
回答No.1

別にf(x,y),g(x,y)が円でなくてもいいと思いますが、 f(x,y)もg(x,y)も共に0なので、 kf(x,y)+g(x,y)が0になるのは式の上で簡単にわかると思います。 あとは、f(x,y)とg(x,y)にそれぞれ=0になるように 円の方程式を代入して、=0の形で解いてあげて それを円(直線の場合もありますよね)の 形(以下の式)になるように解けば良いだけだと思いますが・・・ x^2 + y^2 + lx + my + n = 0

ojisan7
質問者

お礼

ありがとうございます。

ojisan7
質問者

補足

そうですね。

関連するQ&A

専門家に質問してみよう