• ベストアンサー

２円の交点と原点を通る円

数学の問なのですが分からなくて困っています。 円 x^2+y^2-2x-2y-11=0 と x^2+y^2+4x-4y-17=0について (1)２つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。 (2)２つの円の交点及び原点を通る円の方程式を求めよ。 という問です。 (1)の問は自力でy=3x-3と解が出て合っているのですが(2)が解けません。 やはり(1)を使い解くのでしょうか？ 回答よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.2

交点を求めなくても、答えを出す方法がありますが、とりあえず、ヒントのみ。 (x^2+y^2-2x-2y-11)+k(x^2+y^2+4x-4y-17)=0 という図形は、ｋをどのように選んでもある2点を通る図形をあらわします。 「どの２点を通る図形か」というのを考えてみてください。 とりあえず、k=-1を代入してみて、(1)の答えと比較してみると・・・。 分からなければ補足を。

hiro-shock
質問者

お礼

分かりました！！ つまり(x^2+y^2-2x-2y-11)+k(x^2+y^2+4x-4y-17)=0に(0.0）を代入してkを求めて もう一度kを上式に代入して式を求めるんですね。 自分で解いてみてちゃんと答えも合ってました。 回答ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • aton
  • ベストアンサー率47% (160/334)
回答No.1

最も単純な解き方しては，2円の交点をA,B，原点をOとすると，A,B,Oの3点から等距離にある点が中心になるので，線分ABと線分AO(BOでも可)のそれぞれの垂直二等分線の交点を求めれば良いと思います。

hiro-shock
質問者

お礼

早速の回答ありがとうございます 私もこの方法でやってみたのですが 交点の解がとてつもない数値(13±√129）/10というものになってしまいこれでは計算がものすごい事になると思い他の解き方がないかと質問してみたのですが・・・

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 数学 円

    問１:ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－５＋Ｋ(ｘ^2＋ｙ^2－２ｘ－２ｙ－３)=０は２つの交点を通る直線または円を表すことを示せ。 問２:２円 ｘ^2＋ｙ^2－４ｘ－５=０、ｘ^2＋ｙ^2－２ｘ－２ｙ－３=０について２つの交点と原点を通る円の方程式を求めよ。 問３:円ｘ^2＋ｙ^2＋２ｘ－４ｙ－４=０と直線７ｘ－ｙ＋２=０の２つの交点を通り、さらに点(－１，２)を通る円の方程式を求めよ。 問４: ２円ｘ^2＋ｙ^2－ｘ＋３ｙ－１=０、ｘ^2＋ｙ^2＋６ｘ－３ｙ＋５=０の交点と原点を通る円の方程式を求めよ。 すいません！！至急解答お願いいたします

  • 円と直線の交点を通る円

    次の問題について教えてください。 問題「円x^2+y^2=25と直線y=x+1の2つの交点と原点Ｏを通る円の方程式を求めよ。」 『チャートII＋Ｂ』（数研出版） 解答では k(x-y+1)+x^2+y^2-25=0 に(0,0)を代入するとk=25 よって、x^2+y^2+25x-25y=0　が求める方程式。 なのですが、 解説の「２曲線の交点を通る曲線の方程式」では、 f,gが円を表すとき、 kf+g=0　は k=-1のとき　2つの交点を通る直線 k=-1でないとき、2つの交点を通る円 を表す。 とあるので、これに沿って 求める円を　x^2+y^2+ax+by+c=0　として k(x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0 とおき、 k=-1のときが交点を通る直線なので　2円　x^2+y^2=25、x^2+y^2+ax+by+c=0　の2つの交点を通る直線が y=x+1 つまり　x-y+1=0 ・・・(1) となると考えました。 ところがこれでは -( x^2+y^2-25)+x^2+y^2+ax+by+c=0　・・・(2)　 ax+by+c+25=0 だから(1)と係数を比較するとc=-24となります。 一方求める円は(0,0)を通るから(2)に代入するとc=-25となります。 いずれも答えになりません。 これはどういうことなのでしょうか？ 何が間違っていたのかわかりやすく解説ください。

  • ２つの円の交点を通る直線の方程式

    ２つの円の交点を通る直線の方程式は、２つの円の方程式を各辺で引けば求められると習いました。 僕自身円が苦手なので想像しにくく、まだよくこの感覚を掴めてはいないのですが、、 ２つの直線ｙ＝４ｘ＋１０とｙ＝３ｘ＋５があり、この直線が交わる点の座標は ｛ｙ＝４ｘ＋１０ ｛ｙ＝３ｘ＋５　　　　　　　として 交わるためにｙが等しいから　４ｘ＋１０＝３ｘ＋５ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝－５ 　　　　　代入して　ｙ＝－１０ と求めているのですが、２つの円の交点を通る直線の方程式の求め方も、根本的にはこれと同じだと考えてよろしいでしょうか？ ご回答お待ちしております。 よろしくお願いします。

  • 二円の二つの交点を通る直線について

    数学の質問です。 二つの直線の交点を通る図形の方程式を求めるには、恒等式の考えから、二つの直線の方程式を同時に満たす点において常に成立するxとyの一次方程式を、 （直線(1)）+k（直線(2)）=０ と、おおむねこのように立て、kの恒等式として解いて行く考えがあるかと思います。 二円の交点を通る図形を求める際もおなじ考え方ができると思いますが、 二円の交点を通る「直線」 を求める場合、（恐らく）必ずk=-1とすることで求められるように思います。 それならば、二つの円の方程式を連立し、単に片方の方程式からもう片方を引けば同様の方程式が求められるため、それで前述の直線の方程式を求めたことにはならないか、と考えました次第です。 参考書等を見てもこんな単純な解法は書かれていないため、この解法では不十分であることは薄々承知しているのですが、この解法のどこが不十分なのかをいまいち理解できておりません。 二円の方程式を同時に考え（連立し）て直線の方程式を得る考えの、至らない点をご指摘、もしくは不肖の私に根本からご説明頂けると、とても助かります。 ご回答をお待ちしています。

  • 数学２Bの円と直線の問題で

    数学２Bの円と直線の問題で　2円　X²＋Ｙ²－4Ｘ－５＝0　Ｘ²＋Ｙ²＋２Ｙ－１５＝０　について （１）2円の2つの交点と原点を通る円の方程式をもとめよ （２）2円の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ 答え（１）Ｘ²＋Ｙ²－6Ｘ－Ｙ＝０ 　　　（２）２Ｘ＋Ｙ－５＝０　　　　　となるのですがこの過程がわかりません 　 明日のテストに間に合わせたいので恐れ入りますが至急回答をお願いします 問題出典　数研出版サクシード２+Ｂ

  • 二つの円の交点を通る円の方程式について。十分性の

    ｘ＾２＋y＾2＋６ｘ＋８ｙ＋２１＝０ と、x＾2＋y＾2－１６＝０の交点を通る円について考えます。 ｘ＾２＋y＾2＋６ｘ＋８ｙ＋２１＋ｋ（x＾2＋y＾2－１６）＝０　ただしｋ≠－１ となるわけですが、 交点の座標は二つの円の方程式を同時に満たしますから、 交点においては、上の方程式が成り立つのはわかるのですが、 すると上の方程式は円の方程式を表します。 ここまではわかるのですが、 上の方程式を変形して、 ｘ＾２＋y＾2＋{６/k＋１}ｘ＋{８/k＋１}ｙ＋{２１－１６k/k＋１}＝０ これがもし交点を通るならば上の方程式は成り立つのはわかるのですが、 ※なぜなら、交点は変形前の方程式を満たしますから、当然それを同値変形した方程式も成り立つから。 で、ここで必要条件が得られたことになります。 問題は、これがどうして交点を通る円といえるのかです。つまり十分条件をどうして言えるのか。です。 また、ｋ＝－１のとき直線ですが、これはよいとしまして、 ｘ＾２＋y＾2＋{６/k＋１}ｘ＋{８/k＋１}ｙ＋{２１－１６k/k＋１}＝０が交点を通るすべての円を表しているとどうして言えるのか。ということがなんとなくわかりません。 {６/k＋１}、{８/k＋１}、{２１－１６k/k＋１}について考えますと、 ｋは実数ですから、例えば{６/k＋１}なんかは０以外のすべての実数をあらわしているのか。 また、{２１－１６k/k＋１}なんかはｋが１６分の２１のときには０ですから、すべての実数を表すことができるのでしょうか。 ややこしい質問ですいません。わかる人宜しくお願いいたします。

  • ２直線の交点　

    ２直線X＋２ｙ－３＝０、２X－３y＋８＝０の交点と点（１、－１）を通る直線の方程式を求めよ。 私の考え方　 まず連立方程式で２つの式を解いて二直線の交点の座標は（－１、２）であって（１、－１）をとおるから　 y＋１＝　－２分の３（ｘ＋１）であってる？でこのあとの回答が導き出せません。このあとどんな計算をすればよいのですか？ 　　　　

  • ２円の２交点についての問題です

    次の問題がわかりません。 xy平面上に、２円 C1:x^2+y^2-x+8y-4=0 C2:x^2+y^2-6x+3y+5=0 がある。 (1)C1,C2は2点で交わることを示し、その２交点を通る直線の方程式を求めよ。 (2)C1,C2の２交点と点(2,0)を通る円の方程式を求めよ。 という問題なのですが、(1)ですでにお手上げ状態です。 どなたか解き方教えてください。

  • ２円の交点を通る円の方程式

    こんばんは。現在高校で数IIを勉強しているものです。 このあいだ、中心(a,b)、半径rの円の方程式を[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2]と表すことを習いました。 では、二つの円がありその２円の交点を通る円の方程式は...と考えると２つの円の方程式を連立させて方程式を解けばいいのかな、と思ったのですが.... よく考えると連立させて解くと２つ(または接する場合は１つ)の交点の座標が出てくる→x^2+y^2+lx+my+n=0に代入するという手順をとるとl,m,nの3元1次連立方程式となりますが、その方程式は2つしか出てこないはずなので連立方程式を解くことはできません。 これが2円の交点を通る直線だったら簡単なのですが、円だとどうやって解けばいいのでしょうか？ うろ覚えなのですが、2つの円　 x^2+y^2+lx+my+nとx^2+y^2+ox+py+qの交点を通る円の方程式はkをパラメータとして x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+ox+py+q)=0 となるというのをどこかで見たことがあります。これは関係ないでしょうか？またこれが合っているとすると、なぜkをかけるのか、なぜ片方にだけかけるのか、といった点も教えていただければ幸いです。 ネットでいろいろ調べましたがそれらしいものは見つかりませんでした。お時間のあるときでかまいませんのでご回答よろしくお願いします(できれば高2でも理解できるようなレベルでお願いいたします)。

  • 2円の交点を通る図形

    ｘ、ｙ平面上の2つの円C１：ｘの二乗+ｙの二乗＝25、Ｃ2：（ｘ-4）の二乗+（ｙ-3）の二乗＝2について、 (1)Ｃ１、Ｃ2の2つの交点を通る直線の方程式を求めよ。 (2)Ｃ1、Ｃ2の2つの交点を通り、点（3,1）を通る円の方程式を求めよ。 私の解答は （ｘの二乗+ｙの二乗-25）+ｋ（ｘの二乗+ｙの二乗-8ｘ-6ｙ+23）＝0 でも正解を見たら求める方程式は （ｘの二乗+ｙの二乗-8ｘ-6ｙ+23）+ｋ（ｘの二乗+ｙの二乗-25）＝0 でした。 どちらにｋをつけるのかということは重要ですか？

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する