２円の交点を通る円の方程式

質問

こんばんは。現在高校で数IIを勉強しているものです。
このあいだ、中心(a,b)、半径rの円の方程式を[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2]と表すことを習いました。
では、二つの円がありその２円の交点を通る円の方程式は...と考えると２つの円の方程式を連立させて方程式を解けばいいのかな、と思ったのですが....
よく考えると連立させて解くと２つ(または接する場合は１つ)の交点の座標が出てくる→x^2+y^2+lx+my+n=0に代入するという手順をとるとl,m,nの3元1次連立方程式となりますが、その方程式は2つしか出てこないはずなので連立方程式を解くことはできません。
これが2円の交点を通る直線だったら簡単なのですが、円だとどうやって解けばいいのでしょうか？

うろ覚えなのですが、2つの円　
x^2+y^2+lx+my+nとx^2+y^2+ox+py+qの交点を通る円の方程式はkをパラメータとして
x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+ox+py+q)=0
となるというのをどこかで見たことがあります。これは関係ないでしょうか？またこれが合っているとすると、なぜkをかけるのか、なぜ片方にだけかけるのか、といった点も教えていただければ幸いです。
ネットでいろいろ調べましたがそれらしいものは見つかりませんでした。お時間のあるときでかまいませんのでご回答よろしくお願いします(できれば高2でも理解できるようなレベルでお願いいたします)。

回答No.6

kts2371148 · ベストアンサー

私は、＃４さんのリンク先の＃３または＃５が理想の答えに近いと思います。
基本的な考えは一緒なのですが、私なりに書いてみます。

（＃４さんのリンク先 ＃３の方法）

f1(x,y) = x^2 + y^2 + l1 x + m1 y + n1 = 0 ──(1)
f2(x,y) = x^2 + y^2 + l2 x + m2 y + n2 = 0 ──(2)
が、共に円であるものとします。これを変形すると、
f1(x,y) = (x - l1/2)^2 + (y - m1/2)^2 = (l1/2)^2 + (m1/2)^2 - n1
f2(x,y) = (x - l2/2)^2 + (y - m2/2)^2 = (l2/2)^2 + (m2/2)^2 - n2
となりますので、(1),(2) が円であるための条件は、
4 r1^2 = l1^2 + m1^2 - 4 n1 > 0
4 r2^2 = l2^2 + m2^2 - 4 n2 > 0
となります。（ここで、r1,r2 は、それぞれ (1),(2) が円であるときの半径です）

また、(1) と (2) の交点は２箇所であるものとし、
その交点を Ａ(x1,y1) および Ｂ(x2,y2) とします。
そして、k1 , k2 を実数として、

f3(x,y) = k1 f1(x,y) + k2 f2(x,y) = 0 ──(3)
（ただし、k1 + k2 ≠ 0）

という方程式がどんな性質を持つか考えてみます。

f3(x,y) = (k1+k2)x^2 + (k1+k2)y^2 + (k1l1+k2l2)x + (k1m1+k2m2) + (k1n1+k2n2) = 0
が円になるのは、
4 (k1+k2)^2 r3^2 = (k1l1+k2l2)^2 + (k1m1+k2m2)^2 - 4(k1n1+k2n2) > 0
のときです。（ここで、r3 は (3) が円であるときの半径です）
そして、r3^2 > 0 のときは円になりますが、
r3^2 = 0 のときは点になり、r3^2 < 0 のときは実数解がないことになります。

さて、(x,y) = (x1,y1) , (x,y) = (x2,y2) を代入すると、
f1(x,y)=0 , f2(x,y)=0 が成り立つので、f3(x,y)=0 も成り立ちます。
ですから、(3) は２つ以上の実数解をもつので、
r3^2 = 0 , r3^2 < 0 の可能性は否定され、r3^2 > 0 となり、(3) は円になります。
しかも、この円は、(1) と (2) の交点を通ります。
したがって、(3) は、(1) と (2) の２円の交点を通る円であることになります。

ただ、この時点では、条件を満たす円が
(3) の式によってすべて網羅されているのか、まだわかりません。
すでに (3) が円であることははっきりしていますので、
直線ＡＢ上にない点 Ｃ(x3,y3) を指定し、(3) が点Ｃも通るものとします。
すると、f1(x3,y3) と f2(x3,y3) のどちらかは０でないことになり、

f1(x3,y3)=0 であれば、k1 = 1 , k2 = 0
f2(x3,y3)=0 であれば、k1 = 0 , k2 = 1
どちらも０でなければ、k1,k2 のどちらかを 1 として他方を定める

上記のように k1,k2 をとると、どんな点Ｃを指定しても、
点Ａ,Ｂ,Ｃを通るように k1,k2 を定めることができるので、
条件を満たす円は (3) の式によってすべて網羅されていることになります。

（＃４さんのリンク先 ＃５の方法）

(1),(2) の変形後の式より、r1^2 > 0 , r2^2 > 0 であれば、
(1) は点Ｐ(-l1/2 , -m1/2) を中心とする円であり、
(2) は点Ｑ(-l2/2 , -m2/2) を中心とする円であることになります。
そして、線分ＰＱの長さを d とおくと、(1),(2) が２点で交わるための条件は、
r1 + r2 < d , d + r1 < r2 , d + r2 < r1 となります。
（図を描いてみるとわかると思います。ＡＰＱが三角形になります。）

さて、点Ａと点Ｂを共に通る円は、中心が直線ＰＱ上にあるはずです。
そこで、パラメータ t を用いて、ＰＲ = t(ＰＱ) となるように、
直線ＰＱ上に点Ｒをとります。
ここで、0≦t≦1 であれば点ＲはＰとＱの間にあり、
t>1 であれば点ＲはＱの外側にあり、t<0 であれば点ＲはＰの外側にあります。
点Ｒ(xr,yr) の座標は、
xr = -l1/2 + (-l2/2 + l1/2) t = (-l1/2)(1-t) + (-l2/2)t
yr = -m1/2 + (-m2/2 + m1/2) t = (-m1/2)(1-t) + (-m2/2)t
ですから、線分ＡＲの長さを r3 とすると、条件を満たす円の方程式は、
(x - xr)^2 + (y - yr)^2 = r3^2
となります。xr,yr に代入して計算すると、
{x - (-l1/2)(1-t) - (-l2/2)t}^2 + {y - (-m1/2)(1-t) - (-m2/2)t}^2 = r3^2
{x + (l1/2)(1-t) + (l2/2)t}^2 + {y + (m1/2)(1-t) + (m2/2)t}^2 = r3^2
x^2 + y^2 + {(l1)(1-t) + (l2)t}x + {(m1)(1-t) + (m2)t}y + n3 = 0 ──(4)
（n3 は定数）となります。この式は、少なくとも定数項以外は、
(1) を 1-t 倍して (2) を t 倍して加えたものになります。

(1),(2),(4) が共に点Ａ(x1,y1)を通るとき、
(x,y)=(x1,y1) を代入して (1) × (1-t) + (2) × t - (4) を計算すると、
n1 (1-t) + n2 t - n3 = 0
が得られます。したがって、(4) は、
x^2 + y^2 + {(l1)(1-t) + (l2)t}x + {(m1)(1-t) + (m2)t}y + {(n1)(1-t) + (n2)t} = 0
となります。これが求める方程式です。

後者の方法は、前者の方法に比べて、
パラメータ t の物理的な意味がはっきりする、という利点があります。

回答No.5

Quattro99

> x^2+y^2+lx+my+nとx^2+y^2+ox+py+qの交点を通る円の方程式はkをパラメータとして
x^2+y^2+lx+my+n=0とx^2+y^2+ox+py+q=0ですね。

> x^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+ox+py+q)=0・・・（1）
この式はk≠-1のとき円を表しています。また、上記の2円の交点で成り立つのは明らかなので上記の2円の交点を通ります。
また、上記の2円の交点を通る円Aを考えたとき、どこでも良いので円A上で2円との交点以外の点の座標を代入すればkが求まります。そのとき、（1）式は円Aを表す式ということになります。
ただし、2円の交点を通る円のうち、x^2+y^2+ox+py+q=0を表すことは出来ません。x^2+y^2+ox+py+q=0をも表すようにしたければ、
j(x^2+y^2+lx+my+n)+k(x^2+y^2+ox+py+q)=0のようにしなければなりません。j=0のときx^2+y^2+ox+py+q=0を表し、k=0のときx^2+y^2+lx+my+n=0を表すことになりますが、2円そのものを除くのであれば、j≠0、k≠0ですから、jかkどちらかで両辺を割れば片方にだけ掛けたのと同じことになります。

回答No.4

Mr_Holland

２円の交点を通る円の中心は、２円の中心を結んでできる直線上に存在します。
　この条件で円の方程式を立て、交点が通るように係数を決めれば、円の方程式が得られます。

＞うろ覚えなのですが、2つの円
＞x^2+y^2+lx+my+nとx^2+y^2+ox+py+qの交点を通る円の方程式はkをパラメータとしてx^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+ox+py+q)=0
＞となるというのをどこかで見たことがあります。

　これについては、最近このカテでやりとりしましたので、下記を参照してください。
　これは、恒等式の考え方を使ったもので、常にx=0, y=0が成り立つことと、「任意の」ｋに対してkx+y=0が成り立つこととが同値であることを利用しています。よくこのｋを比例定数だと思って、ある特殊なｋでkx+y=0が成り立つと勘違いされる方が見えますが、「任意の」ｋに対して成立しなければならないものだということに注意してください。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3030905.html

回答No.3

himajin100000

http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi?mode=al2&namber=642&no=0&KLOG=1

ということらしい。(これ以外のケースがないかどうかは知らない)

回答No.2

himajin100000

>x^2+y^2+lx+my+nとx^2+y^2+ox+py+qの交点を通る円の方程式はkをパラメータとしてx^2+y^2+lx+my+n+k(x^2+y^2+ox+py+q)=0
今こっち考えている途中だけど

>2．その交点を通る円であれば、AとBの中点が中心になりますので

いや、ABの垂直二等分線上であれば中心はどこでもいいはず

お礼

ご回答ありがとうございます。

>ABの垂直二等分線上であれば中心はどこでもいいはず
ですよね。でも、No.1の方の方法でも条件に当てはまる円のうちの1つは求めることができますね。

回答No.1

zoon1011

もう大分昔にやったことなので的外れだったら御免なさい。
以下の方法では求められないでしょうか？
どうぞ簡単な図を書いて想像して見て下さい。

1．2円の交点の座標を求めます(交点をAとBとします)。
2．その交点を通る円であれば、AとBの中点が中心になりますので
　 交点の座標から中点(Oとします)を求めます。
3．AとOの距離がその円の半径となるので
　 距離AOを求めます。
4．以上の計算で、円の中心座標と半径が分かるので
　 これを円の方程式に代入します。

どうでしょうか？

お礼

申し訳ありません。補足の訂正をさせていただきます。
誤：円周上のどの点からの距離も等しい
正：円周上のどの点からでも中心までの距離は等しい

補足

ご回答ありがとうございます。

>その交点を通る円であれば、AとBの中点が中心になります
中心はABの中点と限らなくてもABの垂直二等分線のうえであればどこでもAとBからの距離は等しくなるのではないでしょうか(AとBの距離が等しい=円周上のどの点からの距離も等しい=円として成り立っている)？
もし私が間違えていたらせっかくご回答くださったのにごめんなさい。