２つ円の交点についての説明がわかりません

質問

２つ円の交点についての説明がわかりません
「２つの円
C1:x＾2+y＾2+ax+by+c=0
C2:x＾2+y＾2+Ax+By+C=0
が２点P,Qで交わるとき，直線PQの方程式は
x＾2+y＾2+ax+by+c-(x＾2+y＾2+Ax+By+C)=0で与えられる．
また２点P,Qを通る円のうち，C2以外のものの方程式は
x＾2+y＾2+ax+by+c+k(x＾2+y＾2+Ax+By+C)=0(k≠-1)
で与えられる．」
の根拠がわかりません．
２つ目の式でk=-1なら１つ目の式になってしまうからk≠-1と断っているのかな．とは思いますがほかがわかりません．
どうすれば証明できるのですか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

＞どうすれば証明できるのですか？

簡単．
f(x,y)=0とg(x,y)=0の交点ってのは
連立方程式
f(x,y)=0
g(x,y)=0
の解．そこでその交点が存在すると仮定して
それを(a,b)とする．
そのとき
kf(x,y)+lg(x,y)=0
で表される図形はかならず点(a,b)を通る
だって f(a,b)=0かつg(a,b)=0だから

さて
f(x,y)=x^2+y^2+ax+by+c
g(x,y)=x^2+y^2+Ax+By+C
とおいて，これらが二点で交わるのであれば
その交点を結ぶ直線が存在する．
直線はかならず一次式で表される．
一方，kf(x,y)+lg(x,y)=0はk,lにかかわらず
かならずその二つの交点を通る図形である．
ここで
kf(x,y)+lg(x,y)
が一次式になれば，それは直線であり，
二つの交点を通るものである．
fとgの式をよくみれば，x^2,y^2の項がきえれば
一次式になるので，例えばk=1.l=-1とすれば
それは「一次式で二つの交点を通る直線」となる．
実際はk=-l≠0であればよい

また，k=-lでなければ，kf(x,y)+lg(x,y)は
二次式であり，x^2とy^2の係数が同じであり
xyの項も存在しないので明らかに
kf(x,y)+lg(x,y)=0は円周を表す．
また，交点を通ることも明らかである．

お礼

ありがとうございます．
関数の性質について考えれば，今回の式が導かれるのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

info22_

>２つ目の式でk=-1なら１つ目の式になってしまうからk≠-1と断っているのかな．
その通りです。

>ほかがわかりません．
>どうすれば証明できるのですか？
以下のように考えれば良いかと思います。

C1,C2が円になる条件:(r^2=(a/2)^2+(b/2)-c＞0,R^2=(A/2)^2+(B/2)-C＞0
C1,C2が2交点で交わる条件:|r-R|<√{(a/2-A/2)^2+(b/2-B/2)^2}<r+R
以上が問題に含まれる前提条件です。

C3:x^2+y^2+ax+by+c-(x^2+y^2+Ax+By+C)=0
C4:x^2+y^2+ax+by+c-k(x^2+y^2+Ax+By+C)=0(k≠-1)
とおくと
C3は簡単化すると
C3'：(a-A)x+(b-B)y+(c-C)=0
と直線の式になります。
また、C4は変形すると
x^2+y^2+{(a-kA)/(1-k)}x+{(b-kB)/(1-k)}y+{(c-kA)/(1-k)}=0
a'={(a-kA)/(1-k)}/2,b'={(b-kB)/(1-k)}/2,c'=(c-kA)/(1-k)とおけば
C4':x^2+y^2+2a'x+2b'y+c'=0(ただし,a'2+b'2-c'≧0)
と円の式になることが分かる。

C1とC2が2点で交わる場合は、その2交点P(p1,p2),Q(q1,q2)はC1とC2の方程式を満たすから以下の式が成立する。
C1p:p1^2+p2^2+ap1+bp2+c=0,C2p:p1^2+p2^2+Ap1+Bp2+C=0
C1q:q1^2+q2^2+aq1+bq2+c=0,C2q:q1^2+q2^2+Aq1+Bq2+C=0

P(p1,p2),Q(q1,q2)が　C1p,C2p,C1q,C2qの条件のもとで
C3とC4を満たすことは明らかです。
異なる2点P,Qを通る直線は1本しか存在しえませんから
C3はP,Qを通る直線であり、
C4は:C3を除くP,Qを通る円群の方程式であることは言うまでもない。

お礼

ありがとうございます．
とても詳しく，少しわからないところもありますが，大方わかった気がします．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

koko_u_u

>どうすれば証明できるのですか？

とりあえず、素直に証明に取り組むのが肝要かと思われます。

お礼

ありがとうございます．
その証明がいまいちわからないのです．
これからもよろしくお願いします．