円

質問

2つの円x^2+y^2=25,(x-4)^2+(y-3)^2=2がある。
(x-4)^2+(y-3)^2=2上の点(3,2)における接線の方程式と、2円の交点を通り、点(3,1)を通る円の方程式を求めよ。

接線の方程式を求める公式はわかるのですが、接線の傾きの求め方がわかりません。
あと、2円の交点を通る直線の方程式なら求まるのですが、点(3,1)を通る円となると、どのような解き方をすればいいかわからないんです。

もしわかる方がいたら、教えてください。お願いします。

回答No.3

noname#71905 · ベストアンサー

(x－4)^2＋(y－3)^2＝2 上の点(3,2)における接線の方程式
●(x－p)^2＋(y－q)^2＝r^2　の点(m，n)における
　接線の公式　(m－p)(x－p)＋(n－q)(y－q)^2＝r^2
　　(p，q)＝(4，3)，(m，n)＝(3，2)　を代入し整理します

２円の交点を通り、点(3,1)を通る円の方程式
●２円の交点を通る円を表す式より(k＝1のときは直線)
　　{(x－4)^2＋(y－3)^2－2}－k{x^2＋y^2－25}＝0
　(3,1)を通ることから、(x，y)＝(3,1)を代入し、
　求めたkの値で、円の式がわかります。

回答No.9

noname#56760

以下は受験テクですが。
{(x－4)^2＋(y－3)^2－2}－{x^2＋y^2－25}＝0
4x+3y-24=0（2円の交点を通る直線）

>>2円の交点を通り、点(3,1)を通る円の方程式を求めよ。
(2円の交点を通る円は
x^2＋y^2－25)+k(4x+3y-24)=0であらわされる。
あとはkを定める。

回答No.8

mister_moonlight

束については、正しくはmとnを定数として、m{(x-4)^2+(y-3)^2-2}＋n{x^2+y^2-25}＝0と置きmとnの比を求めるのが正しい。

＞x^2＋y^2－25=0は条件を満たさないので

不適である理由が必要です。

回答No.7

noname#56760

２円の交点を通る円または直線はこれ↓で全てをあらわすことができま
{(x－4)^2＋(y－3)^2－2}－k{x^2＋y^2－25}＝0
せんので「お断り」を入れておく必要があります。　　

「２円の交点を通る『x^2＋y^2－25=0以外の円』と直線は
{(x－4)^2＋(y－3)^2－2}－k{x^2＋y^2－25}＝0
であらわされる。x^2＋y^2－25=0は条件を満たさないので
この式を用いてよい」
と書く必要があります。

回答No.6

yhposolihp

>>{(x-4)^2}+{(y-3)^2}=2　上の点(3,2)における接線の方程式は、

(x-4)(3-4)+(y-3)(2-3)=2　
(x-4)+(y-3)=-2
x+y-5=0

>>2円の交点を通り、点(3,1)を通る円の方程式。

2円の交点を通る、（円群＋直線）は、
K［{(x-4)^2}+{(y-3)^2}-2］+L［(x^2)+(y^2)-25］=0 と書けます。

その理由は、

＊展開して整理すると、円または直線の方程式となる。
　　　直線になるのは、K=-L　のとき。
＊全てのK,Lに対して、式が成立せねばならない。
　　　即、K,Lについて、恒等式とみると、
［{(x-4)^2}+{(y-3)^2}-2］=0,［(x^2)+(y^2)-25］=0 となり、
2円の交点を通る。

(3,1)を代入する。

K［{(3-4)^2}+{(1-3)^2}-2］+L［(3^2)+(1^2)-25］=0
K［1+4-2］+L［9+1-25］=0
3K-15L=0 , K=5L ,K=5,,,,L=1

K=5,,,,L=1 を　式に戻す。

5［{(x-4)^2}+{(y-3)^2}-2］+［(x^2)+(y^2)-25］=0
5［(x^2)-8x+16+(y^2)-6y+9-2］+［(x^2)+(y^2)-25］=0
6(x^2)+6(y^2)-40x-30y+90=0
(x^2)+(y^2)-(20/3)x-5y+15=0

指定がなければ終了です。
標準形に変形しても良いです。

回答No.5

mister_moonlight

前半の接線の問題を、なんでそんなに難しく考えるんだろうか？

ＡＮo2さんが指摘されているように、ヘッセの公式(＝点と直線との距離の公式)を使えばいとも簡単です。

接線をy＝m(x-3)+2とすれば、mx－y＋2－3m＝0と円の中心(4、3)との距離が√2に等しいわけですから、その公式に当てはめればmの値はすぐもとまる。。。。。その続きくらいは、自分で出来るでしょう。

回答No.4

fukuda-h

後半はANo2さんやANo3さんのように束を使うのが計算が簡単で最もよいと思います。この問題でも、2円の交点を通る直線の方程式を求めて交点を計算して結局３点を通る円の式を作ると大変です。でも、束に関する質問はとても多くあったように記憶しています。なかなか難しい考え方ですがこれがベストだと思います。ぜひともマスターしてください。

ところで前半の接線ですがANo3の書かれた通り公式があります。
「接線の方程式を求める公式はわかるのですが、接線の傾きの求め方がわかりません」
とありますがこれについてはこんな考えがあります。
円の接線は半径に垂直な直線ですから
半径はこの場合円の中心(4,3)と接点(3,2)を通る直線で表せますからその傾きは1ですね。接線はこれに垂直ですからm×m'=-1を使って-1です。
よって、接線は傾き-1で点（３，２）を通る直線だと考えるとよいと思います。
数IIIをやってると微分して求める事も出来ますがこれは別の話だと思います。
円の接線は接点を通り半径に垂直な直線です。これで十分だと思います。
しっかり頑張ってくださいね。

回答No.2

take_5

後半だけ解答します。前半は、判別式でも、微分を使っても、ヘッセの公式を使っても出せるでしょう。
後半は、直線束の知識があれば簡単です。

2つの円の交点を通る図形はkを定数として、{(x-4)^2+(y-3)^2-2}＋k(x^2+y^2-25)＝0‥‥‥(1)と表される。

(注)　(1)を展開しても、x＾2とy＾2の係数が同じから円である事が確認できる。

この図形が、点(3、1)を通るから(1)に代入すると、k＝1/5.
後は、k＝1/5を(1)に代入して整理すると良い。

回答No.1

noname#69788

接線の方程式は、円の方程式と連立させ重解を持つようにしてもとめればよいとおもいます。