図形と方程式

質問

点Ｐ(0,-3)を通り、円ｘ＾2＋ｙ＾2＋2ｘ－1＝０に接する直線の方程式と、接点の座標を計算で出そうとしたんですけど、難しくてでません。自分は計算力がないんですけど、だれか計算をまじえて細かく教えてください。自分でのやり方は接線の傾きをmとして点と直線の距離の公式を使いました。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

＞(x_0,y_0)の記号の意味がわかりません。

例えば、「aのb乗」は、普通のテキストでは、aの右上に小さくbを書きます。が、こういう掲示板では、それが書きにくいので、a^bなどと書く場合があります。
それと同じようにaの右下に小さくbと書く場合には、a_bなどと書く場合があるんです。
まぁ、分からなければ、x_0はXに、y_0はYに置き換えて考えて下さい。

＞このような場合は傾きをｍとして点と直線の距離の公式は使えないということですか？
＞違う方針でやらなければいけないのですか？

この方針でかまいません。しかし。

ｙ軸に平行な直線について、条件を満たすかどうかを別に考える必要があります。

理由は、「y軸に平行な直線」を見落とす理由を考えれば分かります。
そもそも、「傾きをｍとおく」というのは、「傾きが存在する」というのを前提にします。つまり、ｙ＝ｍｘ＋ｎと表せる事を前提にしています。
ところが、ｙ軸に平行な直線は、ｘ＝○と表せるのですが、この直線はどうやっても、y＝○ｘ＋○の形に変形できません。
なので、「傾きをｍとおく」と宣言した時点で、ｙ軸に平行な直線は除外していることになります。

なので、傾きをｍとおいて議論するならば、ｙ軸に平行な直線について別に考えないといけないんです。

＞それと傾きｍと置いたときの式の計算の過程も書いてください。
#1の3行目の続き
|m+3|/√(1+m^2)=√2
|m+3|=√2*√(1+m^2)　(両辺√(m^2+1)倍)
|m+3|^2=2(1+m^2) (両辺を二乗)
(m+3)^2=2(1+m^2) (|a|^2=a^2)
あとは単なる二次方程式ですので、省略。

お礼

詳しい説明ありがとうございました。理解できました。

回答No.2

postro

ｘ＾2＋ｙ＾2＋2ｘ－1＝０　を変形すると
(ｘ+1)＾2＋ｙ＾2＝2
これは中心が（－１，０）半径√２　の円である
求める直線の方程式を　ax+by+c=0 とおくと、これは点Ｐ(0,-3)を通るから
c=3b よって直線は　ax+by+3b=0
この直線と円の中心（－１，０）との距離を円の半径√２とすると
｜-a+3b|/√(a^2+b^2)=√2
（-a+3b）^2=2(a^2+b^2)
∴7b^2-6ab-a^2=0
これをbについて解いて　b=a, -a/7
よって求める直線の方程式は
x+y+3=0
7x-y-3=0
の二つ。
接点は(-2,-1)と(2/5,-1/5)になりました。
検算してください

お礼

ありがとうございました

回答No.1

eatern27

その方針でも解けなくはないですね。
接線の方程式がy-mx+3=0で与えられて、これと(-1,0)との距離が√2であればよいから、
|m+3|/√(1+m^2)=√2
・・・
という感じですね。

ただし、「傾きをｍとおく」と宣言した時点で、「ｙ軸に平行な直線」は除外したことになってしまう事に注意してください。

例えば、(1,1)を通り、x^2+y^2=1に接する直線の方程式を求める場合に、傾きをmとおいて、答えを求めようとすると、y=1という解しか出てきません。が、実際には、x=1という解もあります。

このような理由から、傾きをｍとおくと、ｙ軸に平行な直線については別に考える必要が出てくる(可能性がある)ことに注意してください。
もし、これが面倒なら、
接点を(x_0,y_0)などとおき、接線の方程式を求めて※、
この接線がP(0,-3)を通るとう条件から、x_0,y_0についての方程式が得られます。・・・●
さらに、(x_0,y_0)がx^2+y^2+2x-1=0上にあるという条件から、x_0,y_0についての方程式が得られます。・・・★

●と★を連立させて、x_0,y_0を求める。

という方法もあります。

※の接線の方程式の求め方についてですが、
とりあえず、x^2+y^2=r^2に(x_0,y_0)で接する直線の方程式がx_0x+y_0y=r^2で与えられる事から、
x^2+y^2+2x-1=0に(x_0,y_0)で接する直線の方程式を類推してみてください。

考えてみて分からない点があれば補足へ。

補足

すいません。(x_0,y_0)の記号の意味がわかりません。教えてください。「(1,1)を通り、x^2+y^2=1に接する直線の方程式を求める場合に、傾きをmとおいて、答えを求めようとすると、y=1という解しか出てきません。が、実際には、x=1という解もあります」とありますがこのような場合は傾きをｍとして点と直線の距離の公式は使えないということですか？違う方針でやらなければいけないのですか？それと傾きｍと置いたときの式の計算の過程も書いてください。計算が苦手なもので、お願いします。