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図形と方程式を教えて下さい

連立不等式 x^2+y^2≦10 x+2y≧1 1≦x≦3 の表す領域をDとする。 (1)円x2^+y^2=10上の点(1,3)における接線の傾きを求めよ。また、円x^2+y^2=10と直線x+2y=1の交点のうち、第4象限にあるものの座標を求めよ。 (2)a>0とする。点(x,y)がD上を動くとき、ax+yの最小値をmとする。このとき、mをaを用いて表せ。 (3)0<a<1/2とする。点(x,y)がD上を動くとき、ax+yの最大値をM、最小値をmとする。M^2-m^2=12となるaの値を求めよ。 解答と解説をよろしくお願いします。

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この問題のポイントの説明もしないで、答えだけ書いて何の意味があるのか、ア〇回答者よ。。。w >(2)a>0とする。点(x,y)がD上を動くとき、ax+yの最小値をmとする。このとき、mをaを用いて表せ。 3つの条件式を座標に書いてみる。ax+y=αとすると、y=-ax+α だから 0<aよりこれは傾きが負の直線。 従って、最小値は 点(1、0) か 点(3、-1)が与えるだろうと推測がつく。(1)で第4象限での交点を求めさせている事からも気がつく。 そこで、問題はその時のaの条件になる。そこでカギは 条件の直線:x+2y=1の傾きになる。その傾きは -1/2 であり0<aから次の2つの場合がある。 (1) a≧1/2の時 最小値は点(1、0)を通るときで ax+y=α=a が最小値。 (2) 0<a≦1/2 の時 最小値は点(3、-1)を通るときで ax+y=α=3a-1 が最小値。 aによって場合分けするこの手の問題は、最近は頻出になっている。 この問題で最大値を求めてみると良い。 点(1、3) 点(3、1) 接するとき の3つの場合わけが必要になるだろう。

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  • 回答No.2
  • info22_
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(1) 接線は 1*x+3*y=10 なので y=-(x/3)+(10/3) 接線の傾き=-1/3 円x^2+y^2=10と直線x+2y=1の連立方程式を解でy<0のものが求める交点で (x,y)=(3,-1) (2) m=a (a≧1/2の時) m=3a-1 (0<a≦1/2の時) (3) (2)より m=3a-1 (0<a<1/2の時) M=a+3 (0<a≦1/3の時) M=√{10(1+a^2)} (1/3≦a<1/2の時) (0<a≦1/3の時) M^2-m^2=12 M=a+3,m=3a-1に代入してaを求めるとa=1,1/2。これらは場合の条件を満たさない。 (1/3≦a<1/2の時) M^2-m^2=12 M=√{10(1+a^2)},m=3a-1に代入してaを求めると a=2(√3)-3 (≒0.4641)。これは場合の条件を満たす。 (答え)a=2(√3)-3

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  • 回答No.1
  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2006/5967)

とりあえず(1) x²+y²=10 の両辺をxで微分して、 2x+2yy'=0 より、 y'=-x/y 右辺にx=1,y=3を代入して、 点(1,3)における接線の傾きは-1/3 x+2y=1 より、 x=1-(2y) を x²+y²=10 に代入すると、 1-4y+5y²=10 5y²-4y-9=0 (y+1)(5y-9)=0 第4象限はy<0 ∴y=-1 x=1-(-2)=3 求める点の座標は(3,-1)

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