図形と方程式

質問

次の問題の(2)の解き方がわからないので教えてください。

座標平面上に、円(x-2√3)^2+(y-4)^2=4(1)と、直線y=mx+2(2)がある。ただしmは定数とする。
(1)円(1)と直線(2)が接するとき、mの値と、そのときの接点の座標を求めよ。
(2)円(1)と直線(2)が異なる2点P,Qで交わるとき、mのとりうる値の範囲を求めよ。また、このとき線分PQの中点Mの座標をmを用いて表せ。

(1)は、(1)(2)からxの式にして、D=0で計算して、m=0のとき(2√3,2),m=√3のとき(√3,5)になりました。
(2)は、D>0で計算し0<m<√3まで出たんですが、その後どうすればよいかわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

debut

交点のｘ座標は(m^2+1)x^2-4(m+√3)x+12=0の解ですよね。
そこで、２つの解をα、βとすれば、中点Ｍのｘ座標は(α+β)/2
と表せます。
一方、交点のｙ座標はy=mx+2からｘ＝αのときｙ＝ｍα＋２で
ｘ＝βのときｙ＝ｍβ＋２なので、中点Ｍのｙ座標は{m(α+β)+4}/2
と表せます。
解と係数の関係より、α＋β＝4(m+√3)/(m^2+1)を代入すれば
中点Ｍの座標をｍで表すことができます。

お礼

若干ごちゃごちゃした答えになりましたが、なんとか出せました。
ありがとうございました。

回答No.1

kmasacity

おそらく、PQのどちらのｘｙ座標もｍで表せると思うので、中点Mのx座標はPQのそれぞれのx座標の平均値、またyも同様で表せると思いますよ。

補足

すみません、その表し方がわからないんですが・・
(1)(2)から得られた式は、(m^2+1)x^2-4(m+√3)x+12=0・・(3)です。