円の半径を求めたいのですが

質問

以下の問題の解法を教えてください。
半径a,b(b>a>0とします)の二つの円が、互いに外接して、しかも直線lに同じ側から接しています。両円とlとに接する円の半径xを求めなさい。

回答No.2

Tofu-Yo · ベストアンサー

全部書くのは大変なのでヒントと最終的な答えだけ回答します。

半径aの円の中心をA、Aからlに下ろした垂線の足をP、半径bの円の中心をB、Bからlに下ろした垂線の足をQ、半径xの円の中心をX、Xからlに下ろした垂線の足をRとします。

解法は、方程式PQ=PR+QRです。
PQ、PR、QRはピタゴラスの定理等を使って表します。
PQはaとbで、PRはaとxで、QRはbとxで表せるはずです。
これを解くと答えはx={√(ab)/(√a+√b)}^2です。

お礼

ヒントを基にPQ=PR+QRということを、後で考えたら簡単に解けました。
図形の画像を添付して説明すると、途中の過程も説明できると思います。

回答No.4

noname#108210

直線と半径aの円，半径ｂの円，半径xの円の接点をA，B，X
とすると，
AX=√((a+x)^2-(a-x)^2)=√(4ax)=2√(ax)
BX=√((b+x)^2-(b-x)^2)=√(4bx)=2√(bx)

２つの円の中心間の距離は，(a+b)　だから
{2(√(ax)+√(bx))}^2=(a+b)^2-(a-b)^2

これを簡単にして，
(a+b+2√(ab))x=ab
{(√(a)+√(b))^2}x=ab
よって
x=ab/{(√(a)+√(b))^2}

お礼

後で考えましたら、この式の通りに解けました。
式だけだと分かりにくいので、こういう質問に対する回答は、図を添付していただくと非常に分かりやすいです。

回答No.3

debut

No1です。
すいません。No1の式は(a-b)^2x^2-2ab(a+b)x+a^2b^2=0でした。

回答No.1

debut

図をかいて三平方を３回使えば
(a+b)^2x^2-2ab(a+b-2)x+a^2b^2=0という２次方程式が。

お礼

後で、図に描いてよく考えたら分かりました。
確かに三平方の定理を使います。