円と直線

質問

こんにちは。
高2のflankです。

問.円C:(x-2)^2+y^2=2、直線l:y=kx、(kは実数の定数)について
(1).円Cと直線lが異なる2点A,Bと交わるとき、kのとりうる値の範囲を
　 求めよ。
(2).(1)のとき、線分ABの中点Pが描く軌跡を求めよ。

という問題なのですが、頑張って解こうとしてみましたが、
正直全然わかりません。
授業でやったことの応用問題らしいのですが、
解法がまったく思いつきません。
どうやって解くのでしょうか。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

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判別式○、距離の公式○、接線の方程式？
図からは、－１＜ｋ＜１が読み取れますが・・・。

　（距離の公式）
円の中心Ｃ（２、０）、円の半径√２
直線Ｌ　ｋｘ＋（ー１）ｙ＝０
　｜ｋ＊２－０｜／√（（ｋ＾２）＋１）＜√２
４（ｋ＾２）＜２（（（ｋ＾２）＋１）
２（ｋ＾２）＜（（（ｋ＾２）＋１）
（ｋ＾２）＜１
∴　－１＜ｋ＜１

　（判別式）
（(x-2)^2）+（y^2）=2
y=kx
（ｘ＾２）－４ｘ＋４＋（ｋ＾２）（ｘ＾２）－２＝０　
（（ｋ＾２）＋１）（ｘ＾２）ー４ｘ＋２＝０　（＃！）
Ｄ’＞０
４－２（（ｋ＾２）ー２）＞０
１＞（ｋ＾２）
∴　－１＜ｋ＜１
ーーー
（判別式）の計算（＃！）より、
（（ｋ＾２）＋１）（ｘ＾２）ー４ｘ＋２＝０

Ａ（ａ，ｋａ），Ｂ（ｂ，ｋａ) 、
中点Ｐの座標を（Ｘ、Ｙ）、として、

Ｘ＝（ａ＋ｂ）／２
Ｙ＝ｋＸ　

解と係数の関係より、
４／（（ｋ＾２）＋１）＝２Ｘ
２＝Ｘ（（ｋ＾２）＋１）

ｋ＝０　のとき、Ｐ（２、０）
ｋ≠０　のとき、
ｋ＝Ｙ／Ｘ
２＝Ｘ（（（Ｙ／Ｘ）＾２）＋１）
２Ｘ＝（Ｙ＾２）＋（Ｘ＾２）

（（Ｘ－１）＾２）＋（Ｙ＾２）＝１

軌跡の限界は、
Ｄ’＝０のとき、
（ｘ＾２）ー４ｘ＋２＝０
４＝２Ｘ
Ｘ＝Ｉ
　　１＜Ｘ　または　１＜Ｘ≦２

回答No.2

info22

何らかの解答を示して分からない部分について質問する形式にして頂かないと質問が削除対象になります。問題の丸投げは削除対象で回答することも禁じられています。

教科書で習ったことを使えば比較的簡単にできます。自分で考える習慣をつけないといつまでたっても自力で解答を作れる力が身につきませんよ。

ヒント（方針）だけ
(1)y=kxを円の式に代入するとxの二次方程式ができます。この２実根x1,x2が交点のX座標になります。
x1,x2が異なる２実数として存在するための条件
判別式D＞0
からkの不等式が出てきます。
そこからkのとりうる範囲が求まります。

(2)異なる２交点の座標は
(x1,kx1),(x2,kx2)ですね。
中点の座標(X,Y)との関係は
X=(x1+x2)/2, Y=k(x1+x2)/2…(A)
です。
これから
Y=kX, k=Y/X…(B)
が出ます。
これが
(1)で求めたxの２次方程式で根と係数の関係から(x1+x2)を求めて
X＝2/(1+(k^2))…(C)
これに(B)のkを代入して式を整理すれば中点の軌跡の式が出てきます。
kには(1)で求めた範囲(-1<k<1)を(B)に適用して
（X,Y)のグラフの範囲が出てきます。

これで分からない場合は解答を示して削除対処とならない質問を再度して下さい。

回答No.1

fjfsgh

連立して判別式を用いればいいです。

交点の中点を座標で表せば解けます。