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円 切断 最小値
円C:x^2-4x+y^2-8y+11=0と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値はいくつか 線分の長さＡＢが最小になるのは、△ＯＡＢの高さが、ＯＤの長さと等しいときらしいのですが、なぜでしょうか？ 教えてください
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昨日、以下のように回答した者です。 ＞線分の長さＡＢが最小になるのは、△ＯＡＢの高さが、ＯＤの長さと等しいときらしいのですが、 ＞なぜでしょうか？ 円の性質から言えることです。 △ＯＡＢの高さ（ＯからＡＢへ引いた垂線）が長くなるほど、弦ＡＢは短くなり、 垂線が短くなるほど、ＡＢは長くなるという性質があります。 定点Ｄを通る直線ＡＢでは、 ＯＤを高さにとったとき、垂線の長さが最大になるので、弦ＡＢの長さが最小になります。 垂線とＡＢの交点がＤ以外の位置にあるときは、垂線の長さはＯＤの長さより短くなっているはずです。 どうでしょうか？図で確認してみて下さい。
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- mister_moonlight
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正直にやってみよう。少し、計算が煩雑になるが。 円は (x-2)＾2＋(y-4)＾2＝9から Ｍ(2、4)とし 円と直線との交点をＡ、Ｂ とする。 この直線に 点Ｍから垂線を下し その足をＨとする。 △ＭＢＨと△ＭＡＨは2辺が等しい直角三角形だから ＡＨ＝ＢＨ よりＡＢ＝2ＡＨ。 ピタゴラスの定理から ＡＨ＾2＝9-ＭＨ＾2. ＭＨの長さは点Ｍと直線との距離だから、点(2、4)と直線との距離の公式から ＭＨ＾2＝(3k-4)＾2/(5k＾2+5) よって、ＡＨ＾2＝9-ＭＨ＾2＝(36k＾2+24k+29)/(5k＾2+5)だから m＝(36k＾2+24k+29)/(5k＾2+5)として分母を払うと (36-5m)k＾2＋24k＋(29-5m)＝0。 ・36-5m＝0の時 これを満たすのは k＝7/24だから 解の一部。 ・36-5m≠0の時 判別式≧0だから 計算すると 4≦m≦9 2つの場合を考えると2≦ＡＨ。この時 ＡＢ＝2ＡＨだから 最小値は 4.
お礼
詳しくありがとうございました
- asuncion
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点Dがどういう点なのかがわかりませんので、 何ともお答えできないです。
補足
申し訳ない、忘れてました D(3、6)でlがkによらず通る定点です
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お礼
ようやく理解できました ありがとうございました