円 切り取り 最小値

質問

円C:x^2-4x+y^2-8y+11=0と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある
lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値はいくつか

lがkによらず必ず通る定点(3、6)をD、Cの中心をOとすると
ＯＤを高さにとったとき、垂線の長さが最大になる
らしいのですが、何故でしょうか？
図を描いていますがわかりません

回答No.2

ferien · ベストアンサー

この質問は３回目だと思いますが。。前２回で回答している者です。

＞円C:x^2-4x+y^2-8y+11=0と直線l:(k+2)x-(2k-1)y+9k-12=0(kは定数)がある
＞lがCによって切り取られる線分の長さLの最小値はいくつか

＞図を描いていますがわかりません
どのように分からないのか、説明して欲しいと思います。
また、前回の質問で、計算により最小値になることを示していた回答もあったのに、
なぜ、そちらで質問をしないのでしょうか？

図形的な性質だという理由から納得できないのであれば、ご自分で
ＡＢの長さが最小値であることを計算により確かめてみることを薦めます。
（実際それも試してみましたが、計算が煩雑になり、なかなか正解にたどり着けませんでした。
だから、この問題は図形的な性質を使って処理するものだと解釈してました。）

参考までに、模範解答ではどのように説明しているのか、教えてもらえればと思います。

補足

何度も申し訳ありません
ODが高さじゃなく、かつ切り取られる長さが最小のものはあるのではないですか？
なぜないと言えるのかがわかりません

回答No.9

ferien

ANo.8です。　模範解答をありがとうございました。

＞ｌとCの中心との距離をdとおくとd≦PO(一定)が成り立つ
模範解答でも、ＰＯ（ＯＤ）が最大値であることが前提みたいですね。
思った以上に殆ど何も説明されてないので、正直がっかり（？）しました。
（一番知りたいことが、上のたった一行だけでした。）
最大値になることを計算によって説明できれば一番納得できるのですが、
この問題は、計算で説明しようとしても煩雑になるだけでなかなかうまくいかないので、
解説が難しいのかもしれません。
厳密に証明するようなことは要求されていないようなので、
質問者さんなりの納得できる方法で理解していけばいいと思います。

（余計なことかもしれませんが、問題集（テキスト？）を変えてみたらどうでしょうか？
もう少し普通に解ける問題の方が勉強になると思います。）

お礼

色々ありがとうございました
本当に助かりました

回答No.8

ferien

ANo.7です。

＞点Qは点O、つまりCの中心の間違いです
了解しました。

非常に申し訳ないのですが、模範解答の説明をそのままでいいので、載せてもらえませんか？
先ほどのでは、内容が全く分からないので、全部は無理でも、もう少し詳しくお願いします。
模範解答を理解できれば、案外、一番納得できるかもしれません。
、

補足

lとCの中心との距離をdとおくとd≦PO(一定)が成り立つ
PO⊥lとなるkが存在すればdの最大値はPOでありLの最小値は2√(3^2-PO^2)
PO、lの傾きは2、(k+2)/(2k-1)(k≠1/2のとき)によりPO⊥lのとき2*{(k+2)/(2k-1)}=-1 k=-3/4
よってPO⊥lとなるkが存在しこのときd^2=PO^2=5だからLの最小値は2√(3^2-PO^2)より最小値は4

です

回答No.7

ferien

ANo.6です。先ほどの追加です。

ＯＤ＝ＯＨについて確かめてなかったので、証明の追加です。
（別証明ということでもいいです。こちらの方がいいかもしれません。）

ＯＨ^2＝ＯＤ^2より、
（ｐ－２）^2＋（ｑ－４）^2＝（３－２）^2＋（６－４）^2
ｑ＝ａｐ＋６－３ａ＝（ｐ－３）ａ＋６を代入して
（ｐ－２）^2＋｛（ｐ－３）ａ＋２｝^2＝５
ａ＝－１／２を代入して
（ｐ－２）^2＋｛（ｐ－３）×(-1/2)＋２｝^2＝５
ｐ^2－４ｐ＋４＋(1/4)（ｐ－３）^2－２（ｐ－３）＋４－５＝０
を展開して整理すると
５ｐ^2－３０ｐ＋４５＝０より、
（ｐ－３）^2＝０から、ｐ＝３，だから、ｑ＝６
この場合もＨ（３，６）となるから、点ＤとＨは一致する。
よって、ＯＤと長さが等しくなるような点は、直線ｌ上には他にありません。
だから、ＯＤが最大の長さの垂線なら、この場合だけＡＢの長さが最小になります。

ANo.4の補足について
＞模範回答は、lとCの中心との距離をdとおくと定点とQの距離がd以上？
＞みたいな解き方をしています
点Ｑとはどういう点ですか？

お礼

詳しくありがとうございました
また説明が不足してしまいました 申し訳ありません
点Qは点O、つまりCの中心の間違いです

回答No.6

ferien

ANo.2ANo.4です。ANo.2の補足について

＞ODが高さじゃなく、かつ切り取られる長さが最小のものはあるのではないですか？
＞なぜないと言えるのかがわかりません
Ｄの他にはない、ということを証明してみます。

点Ｄと同じ性質をもつような点が、直線ｌ上に他にあるとして、それをＨ（ｐ，ｑ）とします。
だから、ＯＤ＝ＯＨ，　ＯＤで⊥ｌ，　ＯＨ⊥ｌ　です。
直線ｌを簡単にｙ＝ａｘ＋ｂとします。
直線ｌについての条件は、定点Ｄ（３，６）を通ると言うことだけなので、
６＝３ａ＋ｂより、ｂ＝６－３ａ
また、Ｈは直線ｌ上の点なので、ｑ＝ａｐ＋ｂ＝ａｐ＋６－３ａ……（１）
直線ＯＤは直線ｌに垂直で、直線ＯＨも直線ｌに垂直なので、
直線ＯＤ，ＯＨの傾きは一致する。
ＯＨの傾き＝（６－４）／（３－２）＝２　直線ｌの傾きはａなので、
垂直から、２×ａ＝－１より、ａ＝－１／２……（２）
直線ＯＨの傾き＝（ｑ－４）／（ｐ－２）＝（ａｐ＋６－３ａ－４）／（ｐ－２）だから、
｛（ｐ－３）ａ＋２｝／（ｐ－２）＝２　（２）を代入して、
｛（ｐ－３）×（-1/2）＋２｝＝２（ｐ－２）
これをを解くと、
（５／２）ｐ＝１５／２　より、ｐ＝３　（１）へ代入して
ｑ＝(-1/2)×３＋６－３×(-1/2)＝６
よって、Ｈ（３，６）となり、点Ｄと一致する。
だから、Ｄと同じ性質をもつような点は、１つしかない。

と言えると思いますが。。どうでしょうか？

お礼

ようやく分かりました
ありがとうございました

回答No.5

151A48

円Cの中心をOとするのは原点と間違えやすいのでPとさせて下さい。
ｌ　の通る定点はDのまま。
P（２，４），D（３，６）

弦の長さは円の中心からの距離が大きいほど小さい。
よってDを通る直線でPからの距離が最大のものを考えればよい。
Dを通る任意の弦を引きPからこれに下した垂線の足をHとする。
PDは直角三角形の斜辺なのでPD≧PH
つまり，この場合弦におろす垂線の長さはPDが最大。
よってDを通りPDに垂直な弦が最小な弦である。

という説明ではだめですか？

お礼

なんとなく分かった気がします
ありがとうございました

補足

Dを通る任意の弦を引きPからこれに下した垂線の足をHとする。
PDは直角三角形の斜辺なのでPD≧PH

PDを直角三角形の縦の辺とした直角三角形も作れますよね
つまりPD=PHになると思います

回答No.4

ferien

ANo.2です。補足について

＞ODが高さじゃなく、かつ切り取られる長さが最小のものはあるのではないですか？
例えば、どういう場合ですか？
＞なぜないと言えるのかがわかりません
前回の質問のANo.3さんの回答で、計算により最小値が４であることは裏付けされています。
だから、そのことからも△ＯＡＢの高さがＯＤの長さであると言えると思います。

参考にしたいので、この問題の模範解答の説明を、できたら教えて下さい。

補足

例えは思い付きません 申し訳ありません
模範回答は、lとCの中心との距離をdとおくと定点とQの距離がd以上？みたいな解き方をしています

回答No.1

asuncion

＞垂線の長さが最大になる

どこからどこへ引いた垂線のことでしょうか？
また、最大なんですか？最小ではなく？

補足

円の中のlにOから引いた垂線だと思います
最大です