(a,b)を中心とし、半径2の図形を円Cとする。

質問

(a,b)を中心とし、半径2の図形を円Cとする。
円x^2+y^2=9…(1)と円C…(2)との2つの共有点を通る直線の方程式が6x+2y-15=0…(3)となる(a,b)を求めよ。
この問題を以下の方法で解きましたが、答えになりません。考え方のどこが違うのか、指摘をお願いします。

(1)と(2)の交点を通る方程式は、
k(x^2+y^2-9)+(x-a)^2+(y-b)^2-4=0
題意より上式は直線だから、k=-1を代入して、
-2ax-2yb+a^2+b^2+5=0
(3)と係数を比較して、-2a=6 よってa=-3、-2b=2 よってb=-1
またa^2+b^2+5=-15
ここで、実数の2乗が負の数になり、矛盾してしまい答えに辿り着けませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.2

jcpmutura

6x+2y-15=0…(3)

-2ax-2yb+a^2+b^2+5=0…(4)

同一直線だからといって係数が一致するわけではありません
係数の比が一致するとき直線が一致するので,
(3)の両辺に定数c≠0をかけると

6cx+2cy-15c=0

(4)と係数を比較して、
-2a=6c よってa=-3c
-2b=2c よってb=-c
また
a^2+b^2+5=-15c
これにa=-3c,b=-cを代入すると
9c^2+c^2+5=-15c
10c^2+15c+5=0
2c^2+3c+1=0
(2c+1)(c+1)=0
c=-1/2又はc=-1
c=-1/2の時
a=-3c=3/2
b=-c=1/2

c=-1の時
a=-3c=3
b=-c=1
∴
(a,b)=(3/2,1/2)
又は
(a,b)=(3,1)

回答No.1

jcpmutura

6x+2y-15=0…(3)

-2ax-2yb+a^2+b^2+5=0…(4)

a^2+b^2+5>0>-15だから定数項が(3)と(4)で一致しないから
符号を変えるため(4)の両辺に-1をかけると

2ax+2yb-a^2-b^2-5=0

(3)と係数を比較して、
2a=6 よってa=3
2b=2 よってb=1
また
-a^2-b^2-5=-15
10=a^2+b^2
これにa=3,b=1を代入すると
10=3^2+1^2
矛盾しない