素数の分布について

質問

素数の分布について

工学部の学生ですが数論にも興味があります。

このまえ、ｎ以下の素数の個数を与える関数π(n)について、
d(n)をｎの約数の個数を与える関数とすると、

π(n)=(1/2)*Σ[t=2→n]Σ[j=1→d(t)]{cos(2j*pi/d(t))+cos(4j*pi/d(t))}

という公式を見つけました。

ところで
d(n)=Σ[k=1→n](1/k)Σ[a=1→k]{cos(2an*pi/k)}
と明示的に表示されているので、これを上の式に代入すれば、
π(n)は総和記号Σと三角関数cosで明示的に表示できたと思います。

そこで、この分野に詳しい方に
（１）π(n)はΣとcosのみで表示できるで、初等関数といえるか？
（１）この公式が既知のものであるか？
（２）この公式から得られる有用な結果
などをお聞かせください。

回答No.1

masudaya

私も詳しくありませんが，
π(n)を明示的に表現した式は無いはずですので，本当であれば大きな発見と思います.まずは，数学を習った先生に数論で相談できる先生を紹介してもらって，過程を含めて確認してもらって下さい.有用な結果としては，これが本当であれば，素数判定が簡単になる．つまり判定したい数をｍとするとき，π(ｍ)-π(ｍ-1)=1となれば，素数となるので，今までみたいに素数で割っていくことが無くなるので，(本当は計算量的にどっちが特かを詳細にみる必要があります．)大変有益です．
まずは，専門家に相談なさるのがよいと思います．念のために相談日より前の日付で証拠の残る形で文書にしておくこともおすすめします．何故かというとその先生がちゃっかりアイデアを拝借と言うことも(ほとんど無いと思いますが)ゼロとは言えないからです．