bohr&wheeler理論の４次まで考慮した表面エネルギー計算について

質問

こんにちは、

ロイ＝ニガム(28b)式の被積分関数で1/2乗がかかっている部分は

　{ [1+ΣαlPl]^2 + [ΣαlP'l]^2 }^(1/2)
= { 1 + 2ΣαlPl + [ΣαlPl]^2 + [ΣαlP'l]^2 }^(1/2)

xが小さい時
　√(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (3/48)x^3 - (5/128)x^4 +…

この公式でxに2ΣαlPl + [ΣαlPl]^2 + [ΣαlP'l]^2 を代入し、さらに[1+ΣαlPl]をかけてθで積分すればα2^3もα2^4も出てきます。
とご教示頂き、下記の通り、mathematicaでプログラムを作って計算したのですが、
答えが式（３４a）と一致しません。どこが悪いのでしょうか？
下記計算で、変数θを、t=cosθとしたのですが、この箇所のどこかが間違っているような気がするのですが、自分ではよくわかりません。

aP[k_, t_] := Sum[a[n]*LegendreP[n, t], {n, 2, k}];
k = 4;
x[t_] := 2*aP[k, t] + aP[k, t]^2 + (1 - t^2)*D[aP[k, t], t]^2;
y[t_] := 1 + (1/2)*x[t] - (1/8)*x[t]^2;
f[t_] = 2*Pi*R0^2*y[t]*(1 + aP[k, t]);
(y1 = Integrate[f[t], {t, -1, 1}] /. R0 -> r0*A^(1/3); );
ExpandAll[y1]

計算結果
4*A^(2/3)*Pi*r0^2 + (16/5)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^2 - (4/35)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^3 - (123/70)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^4 -
(16/55)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^5 + 4*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[3]^2 - (8/35)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]*a[3]^2 -

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

αの4次まで計算するなら
√(1+x) = 1 + (1/2)x - (1/8)x^2 + (3/48)x^3 - (5/128)x^4 +…
のx^4 の項まで必要なはずですが、なぜ
　y[t_] := 1 + (1/2)*x[t] - (1/8)*x[t]^2;
と2次の項までしかとっていないのでしょうか
私はこれ以上はやりません。後は他の人に回答してもらって下さい。

補足

いつもお返事ありがとうございます。
下記の通り、ご指摘頂きました点を修正しましたが、やはり結果は一致しません。
aP[k_, t_] := Sum[a[n]*LegendreP[n, t], {n, 2, k}];
k = 4;
x[t_] := 2*aP[k, t] + aP[k, t]^2 + (1 - t^2)*D[aP[k, t], t]^2;
y[t_] := 1 + (1/2)*x[t] - (1/8)*x[t]^2 + (3/48)*x^3 - (5/128)*x^4;
f[t_] = 2*Pi*R0^2*y[t]*(1 + aP[k, t]);
(y1 = Integrate[f[t], {t, -1, 1}] /. R0 -> r0*A^(1/3); );
ExpandAll[y1]

（結果一部抜粋）
4*A^(2/3)*Pi*r0^2 + (1/4)*A^(2/3)*Pi*r0^2*x^3 - (5/32)*A^(2/3)*Pi*r0^2*x^4 + (16/5)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^2 -
(4/35)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^3 - (123/70)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^4 - (16/55)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^5 + 4*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[3]^2 -
(8/35)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]*a[3]^2 - (799/77)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^2*a[3]^2 - (1404/385)*A^(2/3)*Pi*r0^2*a[2]^3*a[3]^2

下記は少し違う方法を使いmathematicaで計算した結果です。しかしこれでも、式(34a)と一致しません。申し訳ございませんが、間違い部分をご指摘頂きましたら幸いです。Seriresは、べき級数の計算コマンドです。

aP[q_, a2_, a3_, a4_, s_] := a2*s^2*LegendreP[2, Cos[q]] + a3*s^3*LegendreP[3, Cos[q]] + a4*s^4*LegendreP[4, Cos[q]];
f[q_, a2_, a3_, a4_, s_] := ((1 + aP[q, a2, a3, a4, s])^2 + D[aP[q, a2, a3, a4, s], q]^2)^(1/2)*(1 + aP[q, a2, a3, a4, s])
y = 2*Pi*r0*A^(1/3)*Integrate[Series[f[q, a2, a3, a4, s], {s, 0, 8}]*Sin[q], {q, 0, Pi}];
y1 = Simplify[y]