２重Σを含んだ計算問題

質問

1/(n^s)={1/Γ(s)}•{¥integral_{0}^{∞} e^{-nt}•t^{s-1} dt}
であることを用いて、
Σ_{m=1}^{∞} Σ_{l=m+1}^{∞} {1/{m^k}}•{1/{l^s}} = {1/Γ(k)}•{1/Γ(s)} ¥integral_{0}^{∞} ¥integral_{0}^{∞} {x^(k-1)}•{y^(s-1)}•{1/{e^{x+y}-1}}•{1/{e^y-1}} dx dy
を示せという問題について、計算結果があわずに困っています。
（ただし、kは自然数、sは実部が0より大きい複素数、¥integral_{0}^{∞}は0から∞までの積分、Σ_{m=1}^{∞}は0から∞までの和、Σ_{l=m+1}^{∞}はm+1から∞までの和を表すものとします。また、関数の収束性と積分と無限和の順序交換は概知であるとします。）

左辺を計算したときに、計算途中で、
左辺 = Σ_{m=1}^{∞} {1/{m^k}}•{1/Γ(s)} Σ_{l=m+1}^{∞} ¥integral_{0}^{∞} {e^(-ly)}•{y^(s-1)} dy
となり、この先を計算しても目標の式と合わず、何度も見直したのですが、どこがよくないのかがよくわかっていません。(特に、e^(-ly)の部分がうまく捌けません。)
もしもわかられる方がおられれば、お教え頂けないでしょうか？

回答No.1

Ae610

1/(n^s) = (1/Γ(s))・∫(0→∞){e^(-nt)•t^(s-1)}dtから

Σ[m=1～∞]Σ[l=m+1～∞] {1/{m^k}}•{1/{l^s}}
=Σ[m=1～∞]Σ[l=m+1～∞](1/Γ(k))・(1/Γ(s))・∫(0→∞)∫(0→∞){e^(-mx)•x^(k-1)}{e^(-ly)•y^(s-1)}dxdy
= (1/Γ(k))・(1/Γ(s))・{Σ[m=1～∞]∫(0→∞){e^(-mx)•x^(k-1)}dx}{Σ[l=m+1～∞]∫(0→∞){e^(-ly)•y^(s-1)}dy}
= (1/Γ(k))・(1/Γ(s))・{∫(0→∞){(Σ[m=1～∞]e^(-mx))•x^(k-1)}dx}{∫(0→∞){(Σ[l=m+1～∞]e^(-ly))•y^(s-1)}dy}
= (1/Γ(k))・(1/Γ(s))・{∫(0→∞){(Σ[m=1～∞]e^(-mx))・x^(k-1)dx}{∫(0→∞){e^(-my)・e^(-y)/(1－e^(-y)•y^(s-1)}dy}
= (1/Γ(k))・(1/Γ(s))・{∫(0→∞){(Σ[m=1～∞]e^(-mx)・e^(-my))・x^(k-1)dx}{∫(0→∞){1/(e^y－1)}dy}
= (1/Γ(k))・(1/Γ(s))・{∫(0→∞){(Σ[m=1～∞]e^(-m(x+y)))・x^(k-1)dx}{∫(0→∞){1/(e^y－1)}dy}
=(1/Γ(k))・(1/Γ(s))・{∫(0→∞){e^(-(x+y))・1/(1－e^(-(x+y))・x^(k-1)}dx}{∫(0→∞){1/(e^y－1)•y^(s-1)}dy}
= (1/Γ(k))・(1/Γ(s))・{∫(0→∞){1/(e^(x+y)－1)・x^(k-1)dx}{∫(0→∞){1/(e^y－1)•y^(s-1)}dy}
= (1/Γ(k))・(1/Γ(s))・∫(0→∞)∫(0→∞){x^(k-1)•y^(s-1)•(1/(e^(x+y)－1))•(1/(e^y－1))}dxdy (Re(s)＞0)

一応カッコの対応確認して・・!

お礼

お教え頂き、有り難うございます。
また、返信が遅くなり、失礼いたしました。
大変参考になりました。