微分と積分の順序交換

質問

熱方程式
Ut-Uxx=0 (t>0,x∈R)
の基本解を
(4πt)^(-1/2)・exp(-x^2/4t)=K(t,x)とおきます。

φ(x)をR上有界な一様連続な関数と仮定し、
U(t,x)=∫(R～R)K(t,x-y)φ(y)dy (y∈R)とおきます。
このとき
(∂/∂x)U(t,x)＝∫(R~R)(∂/∂x)K(t,x-y)φ(y)dy
を満たすことを示し、U(t,x)が熱方程式を満たすことを示そうとしています。

そこで、
以下の微分と積分を入れ替える定理を使って証明しようとしています。

定理１
h=h(x,y)は(a,b)×Rで定義された関数で、次の性質を持つ
(1)ほとんどすべてのyについてhはxの関数とみて(a,b)でC1級である
(2)∂h/∂xは(a,b)×Rで可積分とする
(3)少なくとも１点c∈(a,b)でh(c,y)はR上可積分とする
(4)∫(R~R)(∂h/∂x)dyは区間(a,b)の各点xで連続とする
このとき∫(R~R)(∂h/∂x)dy＝∂/∂x∫(R~R)h(x,y)dyとなる。

この定理を使って、Uが熱方程式を満たすことに苦戦しています。
どなたか行間の空かない詳しい証明をよろしくお願いします。

回答No.1

stomachman

どう苦戦しているんだか、さっぱり様子が分かりません。