- ベストアンサー
素元分解整域 既約
m ≧ 5 を奇数とする.Z[√-m] := {a + b√-m | a, b ∈ Z} は環になります。 この問題では, Z[√-m] が素元分解整域でないことを示したいです。(素元分解整域では,既約元は素元であることに注意) Z[√-m] において,2 が既約元であることをどう示したらいいでしょうか。
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 【素元の分解】一意性の証明
代数学の初歩にて、2つほど疑問があります。 片方だけでもよいので、どなかたご教示お願いします。 (1)整域Rにて、1つの元の素元分解は一意的である。 すなわち、p_1p_2 ... p_r = q_1q_2 ... q_s (p_i と q_i は素元) とすると、r=sであり、番号をいれかえることで単元倍を除いてp_i = q_i となる。 という命題で、単元倍を除く ということの意味がよくわかりません。 いろいろやって、適当に順番を入れ替えて、q_1 = ap_1 と表せる (aは単元)ことはわかったのですが、その直後、 『すなわち、単元倍を除いて q_1 = p_1である』と続くのですが、 これが意味不明です。どうあがいてもq_1 = p_1は正しくないと思うのですが、 単元倍を除いて というのは一体どういうことなんでしょうか。 (2)上の命題の直後に続く命題です。 任意の単元でない元a≠0が、単元倍を除いて一意的に既約元の積にかけるならば、 整域Rは素元分解整域である。 これを示すためには、条件の下 既約元が素元になることを示せばいいですよね。 0≠a(aは単元でない)をRの既約元として、イデアルRaを考えたとき、 xy∈Raとすると、a | xyで、 条件より x=x_1x_2 ...x_r y=y_1y_2 ... y_s と分解できます。 よって、a | x_1x_2 ...x_r y_1y_2 ... y_s となります。 ここで、『既約元分解の一意性から、既約元aは、とあるx_i かy_iに単元倍を除き等しくなる。』 とあるんですが、ここもさっぱり理解できません。 経験不足であることは十分わかっているのですが、 ヒントだけでも教えていただけないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 零因子と整域について
Xが+に対して可換群,・に対して半群をなし,分配法則x(y+z)=xy+xz、(x+y)z=xz+yzをなす時Xを環と呼ぶ。 ・に関しての単位元を持つ環を特に単位的環と呼ぶ。 それでa≠0,b≠0でab=0なる環の元を零因子と呼ぶと思うのですが 実際,単位的環ではなくただの環で零因子を持つような環って存在するのでしょうか? そして零因子を持たない可換な環を整域と呼ぶようですが。 零因子を持たない非可換な環には特に呼び方はあるのでしょうか(非可換な整域?)?
- 締切済み
- 数学・算数
- 2次体の整数環での既約剰余類群はありますか?
有理整数環Zの剰余環Z/mZの部分集合 (Z/mZ)^*={[a]∈Z/mZ|a∈Z、gcd(a,m)=1} は乗法に関して群をなし、既約剰余類群と呼ばれます。 この整数環Zに対して、2次体の整数環Z[ω]で考えると、 剰余環はイデアルAを用いて、Z[ω]/Aとなりますが、 既約剰余類群に対応するものはあるのでしょうか? 2次体の整数環Z[ω]では、いつでも最大公約数があるとは限らないですが、 一意分解環(UFD)では最大公約数があるので、そのときは 既約剰余類群の対応物があるように思うのですが。 あるのでしたら、名前とか参考サイトを教えていただけないでしょうか? ないのでしたら、なぜないかを教えていただけないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 整域について
整域に関してですが・・・・ 二つの整域 ( R1, +1, *1 )、 ( R2, +2, *3 ) に対して、代数系 ( R, +, * ) を次のように定義する。 R = R1 * R2 (直積集合) 。任意の a1, b1 ∈ R1、a2, b2 ∈ R2 に対して、 加法 : ( a1, a2 ) + ( b1, b2) = ( a1 +1 b1, a2 +2 b2) 乗法 : ( a1, a2 ) * ( b1, b2) = ( a1 *1 b1, a2 *2 b2) とする。このとき、R1 および R2 の零元を、それぞれ 01 および 02 で表すとき、R の零元を示せ。 という問題があるのですが、この零元は単に 01 * 02 とすればよいのでしょうか? また、この代数系 ( R, +, * ) は整域にならないとあるのですが、それは整域が乗法に関して零因子を持たない、といった理由からなのでしょうか? 回答、よろしくお願い致します・・・・m(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 自明でない因数分解とは?
自明でない因数分解とはどういうものでしょうか? というのもある本にて、 整域Rの元aが、単元でも0でもなく、さらに条件 p,q∈R, a=pq ⇒ pまたはqがRの単元 をみたすとき、いいかえればaが自明でない因数分解を持たないとき、aを既約元という。 と書いてあるからです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数学の問題(整域)で解法が分かりません.
代数学の問題で, (1)a+b√3(a,bは整数)の全体 (2)すべての奇数の集合 これらの集合は整域であるかどうか,理由を明記して判定せよ. という問題なのですが,整域の定義(5つあったと思いますが)に従って,一つ一つ証明していき,全て合ったら整域であり,一つでも違ったら整域ではないと判定する解法でいいのでしょうか. 宜しくお願いします.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 既約について(代数学)
代数学の問題なのですが、 f(x)=x^3+ax+1(a≧1)とする。 f(x)∈Z[x]はQ(有理数)上で既約である事を示せ。 なんですが、これはf(x)がZ(整数)上で既約であることを示せばいいのですか?それとも直接Q(有理数)上で既約であることを示せばいいのでしょうか?できれば、解き方を教えてください。お願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 私の元カノとの喧嘩別れが未だ引きずられています。心に平穏を取り戻す方法はありますか?
- 元カノとの別れが私の心に影を落としています。心の平穏を取り戻すにはどうすればいいでしょうか?
- 元カノとの喧嘩別れが私にとっての心の負担となっています。どのようにして心に平穏を取り戻せば良いのでしょうか?
お礼
なるほど。とても勉強になります。答えて頂きありがとうございます。こちらを参考にしてもう一度自分で考えてみます。ありがとうございました。