自明でない因数分解とは？

質問

自明でない因数分解とはどういうものでしょうか？
というのもある本にて、

整域Rの元aが、単元でも0でもなく、さらに条件
　p,q∈R, a=pq ⇒ pまたはqがRの単元
をみたすとき、いいかえればaが自明でない因数分解を持たないとき、aを既約元という。

と書いてあるからです。

回答No.3

graphaffine

質問文からわかるような気がしますが。

p,q∈R, a=pq ⇒ pまたはqがRの単元
を言い換えたのが、
aが自明でない因数分解を持たない
ということですよね。

でしたら、それぞれの否定を考えて
「aが自明でない因数分解を持つ」
は言い換えると、
「ともに単元でないp,qを使ってa=pqと書けること」
ですね

回答No.2

kabaokaba

>この定義から一体なぜaが自明でない因数分解を持たないということがいえるのでしょうか？

因数分解できたとするならば
それは必ず自明なものになる

というのが定義の内容です．
つまり，自明なものしか持たないということ．

イメージがつきにくかったら
実数係数一変数多項式環といった
よくみるもので考えてみるとよいでしょう
既約元は既約多項式なります

＃＃素元分解整域だから。。素元と既約元の
＃＃区別がつきにくいのが難点ですが。。。

回答No.1

yumisamisiidesu

どんなRの元aについてもa=1・a　と書けます
これが自明な因数分解です.

お礼

ありがとうございます。

>どんなRの元aについてもa=1・a　と書けます
>これが自明な因数分解です.

これを踏まえると「aが自明でない因数分解を持たない」ということは、「aが自明な因数分解のみ持つ」ということですよね？

>整域Rの元aが、単元でも0でもなく、さらに条件
>　p,q∈R, a=pq ⇒ pまたはqがRの単元
>をみたすとき、いいかえればaが自明でない因数分解を持たないとき、aを既約元という。

この定義から一体なぜaが自明でない因数分解を持たないということがいえるのでしょうか？