- ベストアンサー
開部分群と閉部分群
位相群Gの部分群Hが開集合であるか閉集合であるかによって、開部分群／閉部分群と定義されていますが、Hによる剰余類の直和 G = H ∪∪_(λ∈Λ) (Haλ), a_λ ∉ H を考えると、結局、Hが開集合であれば（Haが開集合だから∪Haも開集合。その補集合である）Hは開集合、閉集合であれば（Haが閉集合だから∪Haも閉集合。その補集合である）開集合となって、結局、開部分群⇔閉部分群となるのではないかと思うのですが、開部分群と閉部分群を区別する意味はあるのでしょうか？
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 部分群であることの必要十分条件
次の命題って間違っていませんか？ 「Ｈが群Ｇの部分集合であるとき ＨはＧの部分群である⇔ＨＨ⊂ＨかつＨ^(-1)⊂Ｈ」 具体的に言うと、 「Ｈが群Ｇの『空でない』部分集合であるとき ＨはＧの部分群である⇔ＨＨ⊂ＨかつＨ^(-1)⊂Ｈ」 が正しいのではないでしょうか？ そう思った理由は次の通り： 「空でない」という部分がないならば、 Ｈ＝φとすると、 ＨＨ＝｛ａｂ|ａ,ｂ∈Ｈ｝＝φ＝Ｈ Ｈ^(-1)＝｛ａ^(-1)|ａ∈Ｈ｝＝φ＝Ｈ よりＨ＝φは右の仮定を満たす。 しかしＨが空であるのでＨは部分群ではない。 したがって右を仮定したとき左が成り立たない。// 念のため部分群の定義を述べておきます： 群Ｇの「空でない」部分集合Ｈが ＊ａ，ｂ∈Ｈ⇒ａｂ∈Ｈ ＊ａ∈Ｈ⇒ａ^(-1)∈Ｈ の二条件を満たすとき、Ｈは群Ｇの部分群であるとする。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分群であることの証明
部分群であることの証明 Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。 部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、 同値関係の定義については理解しています。 ですが証明文を書くことができず、困っています。 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Hが部分群の時ｘ∈aHならx∈Ha^(-1)でしょうか？
お世話になります。よろしくお願いします。 代数の本を読んでいて、剰余類の所で気になっていることがあります。 「群Gの部分群H、a,b∈Gでｘ∈aHならx∈Ha^(-1)」が正しいのかどうかということです。 証明を試みたのですが、できずに正しいかどうか確信が持てずにいます。 どなたか証明の分かる方教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 群Ｇの部分集合Ｍによって生成されるGの部分群
定理 群Gの部分集合Ｍによって生成される部分群H＝〈Ｍ〉はＭを含むGの部分群のうち最小なものである。 証明 H⊃ＭであることはHの定義より明らかである。また、Ｍを含むGの任意の部分群をＵとすれば、Ｍの元のべき積はすべてＵに含まれ、H⊂Ｕを得る。したがって、HはＭを含む最小な部分群である。 (1)なぜＭの元のべき積で表される元の全体Hは明らかにGの部分群なんでしょうか。 例えばもし部分集合Ｍに単位元、逆元がなかったらHは部分群にならないように思えます。 (2)証明の2文目までは理解できましたが、 「したがって」以降、つまり３文目が理解できません。H⊂ＵからなぜHが最小だと言えるのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３次の対称群について
３次の対称群を、 A＝{e = (1 2 3 ｜1 2 3）, r+ ＝(1 2 3 ｜ 2 3 1), r-＝(1 2 3 ｜ 3 1 2), σ1=(1 2 3｜1 3 2), σ2＝(1 2 3 ｜3 2 1), σ3＝(1 2 3｜2 1 3)} とする部分群G＝{e, r+, r-}およびH＝{e, σ1}に対して (1) ラグランジェの定理を使って [A：G]および[A：H]を求めよ。 (2) G、Hに対して、全ての左剰余類を求めよ。 (3) G、Hに対して、全ての右剰余類を求めよ。 (4) G、HがAの正規部分群であるかを判定せよ。 分かりません。。よろしくお願いします！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分群の問題なんですが・・・
ＨをＧの部分群としてＧの元a,bに対して a～b⇔a＾(-1)b∈H と定義するとき （１）関係～は同値律を満たすことを証明 （２）aの同値類をaとＨを用いて表せ という問題なんですが、まず（１）の同値律を満たすことを証明というのはどういうことを証明すればよいのかわかりません。また（２）について、同値類をaとＨを用いて表すというのが問題の意味すらよくわかりません。何かアドバイス頂ければありがたいのですが・・・よろしくお願いいたします！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正規部分群の基本性質の証明について。
お世話になります。よろしくお願いします。 正規部分群の基本性質の証明問題です。 問題＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ Ｈを群Ｇの部分群とする時 『∀a,b∈Ｇ,aH＝bH⇔Ha＝Hb』 ならば 『∀a∈Ｇ,aH＝Ha』 を証明せよ。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ヒントだけでもよいのでよろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学の、正規部分群の問題を教えて下さい。
Gを群、HをGの部分群、NをGの正規部分群とする。 (1)NはHN:={hn|h∈H,n∈N}の正規部分群になっている事を示しめしなさい。 (2)剰余群HN/NとH/(H∩N)は同型である事を示しなさい。 という問題です。 お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分群になるための必要十分条件
群Gの部分集合HがGの部分群であるための必要十分条件は (1)HH⊂HかつH＾（-1)⊂H または (2)HH＾（-1)⊂H であるということがありあすが、 HH＾（-1)＝Hだけで必要十分条件だと言えますか？ つまり、群Gの部分集合HがGの部分群である⇔HH＾（-1)＝H は真でしょうか？（⊂でなく＝） できれば証明のヒントもください
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。勘違いしていました。 開部分群⇒閉部分群となるけれど、閉部分群⇒開部分群となるとは限らないということなのですね。