開部分群と閉部分群

質問

位相群Gの部分群Hが開集合であるか閉集合であるかによって、開部分群／閉部分群と定義されていますが、Hによる剰余類の直和
G = H ∪∪_(λ∈Λ) (Haλ), a_λ ∉ H
を考えると、結局、Hが開集合であれば（Haが開集合だから∪Haも開集合。その補集合である）Hは開集合、閉集合であれば（Haが閉集合だから∪Haも閉集合。その補集合である）開集合となって、結局、開部分群⇔閉部分群となるのではないかと思うのですが、開部分群と閉部分群を区別する意味はあるのでしょうか？

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

> Haが閉集合だから∪Haも閉集合
こっちはそうではない（閉集合の任意個の合併は、かならずしも閉集合にはならない）。

一方、
> Haが開集合だから∪Haも開集合
こっちは正しい。この違いがあります。

お礼

ありがとうございます。勘違いしていました。

開部分群⇒閉部分群となるけれど、閉部分群⇒開部分群となるとは限らないということなのですね。

回答No.2

tmpname

> 開部分群⇒閉部分群となるけれど、閉部分群⇒開部分群となるとは限らないということなのですね。

そういうことです。

お礼

ありがとうございます。