群の部分群の必要十分条件

質問

このような命題がありました。
＜＜　群Gの部分集合HがGの部分群になるための必要十分条件は、次の三つの条件が満たされる事である。
(1) 1G <- H　*集合Gの単位元の事。本ではGの字は右下にGとなっています。
(2) x,y <- H　なら　xy <- H
(3) x <- H　なら　xの逆元Xマイナス１　はHの元である。　＞＞

これの証明に
＜＜　Hが部分群であるとか仮定する。Hの演算はGの演算と一致するので、1H*1H=1H(*Hは右下に大文字）がGの演算により成り立つ。１Hの逆元１Hマイナス１を左からかけて、1H=1Gとなる。よって、１G <- H　となり、(1)が成り立つ。＞＞

ここの＜＜　１Hの逆元１Hマイナス１を左からかけて、１H=1Gとなる。よって、１G <- H　となり、(1)が成り立つ。　＞＞の部分。

１。なにゆえ左からかけるのか？　右からではいけないのか？
２。１Hマイナス１をかけてなにゆえ１G　集合Gの単位元になるのか？1Hマイナス１をかけているので、（1Hマイナス１)*1H*1H=(1Hマイナス1)*1H　これから何故１H=1Gの１Gがでてくるのか？

大学は何年も前に卒業。独学で自習しているものです。
よろしくねがいます。

回答No.2

Tacosan

1 は群の定義からどっちでもいいはず.
2 は, 実はその前の文章に答えが書いてある.

回答No.1

nananotanu

線形代数でA×BとB×Aが同値でない事は理解していますか？
正方行列じゃない時を考えればよく解るかと。