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群について。分からないところがあるのです。
演算＋に対して、整数全体の集合は群を成すのですが、 単位元の存在から x＋e=x＋e=xをみたすeが存在。(xは集合の元) このときe=0となるわけですが、それでも単位元というのですか？ つまり0は単位元と。だいたい、単位元といえば1。乗法に対する整数全体の集合とすればe=1となってこれは単位元だろうと分かるのですが。e=0というのは？
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>x＋e=e＋x=xをみたすeが存在する。このときeは単位元でなく >零元というのでは？ 加群の場合は零元という表現もするでしょう。 注意すべきは、何を抽象化して考えているかです。 加群とは群の演算 φ: G x G -> G を「 a + b 」と表現するかどうか、だけなので、 群としてはなんら変わるものではありません。 加群に意味があるのは、例にある整数全体のように自身が環であったり、 加群上に何かの環や体が作用素として乗っかっている場合です。
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- proto
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「零元」というのが一般的だとは思いますが、「和の単位元」という呼び方もあるようですよ。 それに対して所謂"1"を明示的に「積の単位元」と呼ぶ呼び方もあるようです。 wikipediaでは、演算μと任意の元gにたいして μ(e,g) = μ(g,e) = g となる元eを単に「単位元」と呼んでいますね。 この場合のμが+ならばe=0でしょうし、μが*ならばe=1なのでしょう。
お礼
分かりやすい説明助かりました。群の意味が理解できました。 ありがとうございました。
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
演算の抽象化についていけてないのですね。 もう一度、群の定義を読んで「字句通り」に考えましょう。 >だいたい、単位元といえば1。 >乗法に対する整数全体の集合とすればe=1となってこれは単位元だろうと分かるのですが そもそも整数全体の集合は乗法に関して群にはなっていません。 群の定義で「かけ算」のように書かれているものは、整数のかけ算とは別のものです。
補足
もっと分かりやすい説明がありましたので、こちらの方を参照してください。 x＋e=e＋x=xをみたすeが存在する。このときeは単位元でなく 零元というのでは？ すなわち零元の存在というのが一般的ではないのかと思いました。
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お礼
ご説明丁寧にありがとうございました。群の意味が理解できました。