部分群になるための必要十分条件

質問

群Gの部分集合HがGの部分群であるための必要十分条件は

(1)HH⊂HかつH＾（-1)⊂H
または
(2)HH＾（-1)⊂H

であるということがありあすが、
HH＾（-1)＝Hだけで必要十分条件だと言えますか？

つまり、群Gの部分集合HがGの部分群である⇔HH＾（-1)＝H

は真でしょうか？（⊂でなく＝）

できれば証明のヒントもください

回答No.4

NoSleeves · ベストアンサー

>> 最初の五行の命題を仮定しなければH ＜ G <--> HH^-1 = Hは成り立たないのか、
御自分が書いていることの意味を、きちんと理解していますか。
支離滅裂な内容ですよ。
「最初の五行を補題として使わなければ、H ＜ G <--> HH^-1 = H を証明できないのか」なら、一応意味だけは通じますけれど。
もう少し、一生懸命学問なさってください。

ただし、

>> こういうことでしょうか？（確認）
>> H ＜ G <--> HH^-1 ⊂ H　<-->　HH^-1 = H
>> という論理関係でしょうか？
この部分に関しては、理解できたようですね。
御指摘の通り、それら3つの条件は互いに同値です。
ANo.2 で書いたように、H ＜ G <--> HH^-1 ⊂ H を利用すれば、ほぼ集合論だけで H ＜ G <--> HH^-1 = H を証明できます。
必ず、御自身で証明を完成させてください。

お礼

ようやく理解できました。

(1)(2) を使って証明を完成できました

何度もありがとうございます！

回答No.3

NoSleeves

群 G の空集合でない部分集合 H に対して、以下の命題

H ＜ G <--> HH^-1 ⊂ H

を真だと認めていないのであれば、あなたの質問文において、最初の5行（群Gの部分集合Hが ～ であるということがありあすが、）は、何のために書いたのでしょうか。
ふざけるのも、いい加減にしてください。
とにかく、上の命題は真です。

で、

H ＜ G <--> HH^-1 = H

は、成り立つに決まっているでしょう。
ANo.2 で、すでに十分すぎるほどのヒントを書きました。
まだ疑問点が残っているのなら、あとは自分で考えて解決してください。

補足

最初の五行は文脈を補っただけです。最初の五行の命題は真だと認めていますが（理解していますが）、自分が言おうとしているのは、最初の五行の命題を仮定しなければH ＜ G <--> HH^-1 = Hは成り立たないのか、という意味で「認めない（仮定しない）」と書きました。

すみませんm(__)m　　書き方がおかしかったです。

質問に戻ります。

こういうことでしょうか？（確認）

H ＜ G <--> HH^-1 ⊂ H　<-->　HH^-1 = H

という論理関係でしょうか？

すみません

回答No.2

NoSleeves

以下のことは、すでに認めているわけですよね。
H ＜ G <--> HH^-1 ⊂ H

それなら、ほぼ集合論だけで疑問は解決します。
HH^-1 = H ならば HH^-1 ⊂ H であるから、H ＜ G である（集合論しか使っていない）
逆に、H ＜ G ならば 1 ∈ H = H^-1 であるから、H の任意の元 h に対して h = h・1 ∈ HH^-1 が成り立つ（あとは、集合論で仕上げてください）

補足

> 以下のことは、すでに認めているわけですよね。
> H ＜ G <--> HH^-1 ⊂ H

いや、認めていません。
単純にHH＾（-1)＝Hだけで必要十分条件だと言えるかが疑問です。

お願いします

回答No.1

stomachman

証明のヒントはですね、HHとかHH^(-1)ってどういう意味か、と考えることです。

　整数全体の集合Qと普通の足し算+との組(Q,+)は群になってます。という具体例で考えると、
　(1)の条件は
　　(1) H⊂Q ∧ ∀x∀y((x∈H ∧ y∈H) ⇒ (x+y)∈H) ∧ ∀x(x∈H ⇒ -x∈H)
ということ。たとえばHが整数全体の集合ならこれを満たすけれど、Hが自然数全体の集合なら満たさない。
　さて、(Q,+)においてH⊂Qのとき、
　　HH＾（-1) = {0}
なのだから、(2)の条件は
　　(2) H⊂Q ∧ {0}⊂H
ということ。Qの部分集合Hが0を要素として含む、というだけの条件なので、(2)はHが(Q,+)の部分群であることの必要十分条件なんかではない。
　で、ご質問の条件は、(Q,+)においてH⊂Qのとき
　　H⊂Q ∧ {0}=H
ということ。

補足

おっしゃる趣旨がわからないんですが、群Gの部分集合HがGの部分群である⇔HH＾（-1)＝H

は真でしょうか？（⊂でなく＝）