和集合が部分群になる条件

質問

『群Gの部分集合H,Kが部分群のときH∪KがGの部分群となる必要十分条件は何か』
という問題についてなのですが、

おそらくその条件は「H⊆K or K⊆H」だと予想して解こうとしているのですが、どうもうまく示すことができません。

・この予想は正しいのか
・正しいのならどう証明すればよいのか
この2点を明らかにしていただきたいと思っています。よろしくお願いします。

回答No.1

33550336 · ベストアンサー

正しいです。

Ｈ∪Ｋが部分群になるとき
Ｈ∪Ｋ＝ＨＫとなります。
いずれの包含関係も成立しないと仮定すると
ｈ∈Ｈ∩(Ｇ－Ｋ)なるｈとｋ∈Ｋ∩(Ｇ－Ｈ)なるｋが存在する。
Ｈ∪Ｋは部分群であるからｈｋ∈Ｈ∪Ｋに含まれる。
ｈｋ∈Ｈとすると(ｈ^(-1))ｈｋ＝ｋ∈Ｈとなり矛盾
ｈｋ∈Ｋの場合も同様。（ｈ∈Ｋがしたがう）
よって仮定は誤りで、Ｈ∪Ｋが部分群ならばいずれかの包含関係が成立。

また、逆は明らか。

回答No.2

33550336

>Ｈ∪Ｋは部分群であるからｈｋ∈Ｈ∪Ｋに含まれる。

間違えました。正しくは

Ｈ∪Ｋは部分群であるからｈｋ∈Ｈ∪Ｋが成立。

です。

お礼

助かりました。本当にありがとうございます。