- ベストアンサー
和集合が部分群になる条件
『群Gの部分集合H,Kが部分群のときH∪KがGの部分群となる必要十分条件は何か』 という問題についてなのですが、 おそらくその条件は「H⊆K or K⊆H」だと予想して解こうとしているのですが、どうもうまく示すことができません。 ・この予想は正しいのか ・正しいのならどう証明すればよいのか この2点を明らかにしていただきたいと思っています。よろしくお願いします。
- cloverlove
- お礼率11% (3/27)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
正しいです。 Ｈ∪Ｋが部分群になるとき Ｈ∪Ｋ＝ＨＫとなります。 いずれの包含関係も成立しないと仮定すると ｈ∈Ｈ∩(Ｇ－Ｋ)なるｈとｋ∈Ｋ∩(Ｇ－Ｈ)なるｋが存在する。 Ｈ∪Ｋは部分群であるからｈｋ∈Ｈ∪Ｋに含まれる。 ｈｋ∈Ｈとすると(ｈ^(-1))ｈｋ＝ｋ∈Ｈとなり矛盾 ｈｋ∈Ｋの場合も同様。（ｈ∈Ｋがしたがう） よって仮定は誤りで、Ｈ∪Ｋが部分群ならばいずれかの包含関係が成立。 また、逆は明らか。
その他の回答 (1)
- 33550336
- ベストアンサー率40% (22/55)
>Ｈ∪Ｋは部分群であるからｈｋ∈Ｈ∪Ｋに含まれる。 間違えました。正しくは Ｈ∪Ｋは部分群であるからｈｋ∈Ｈ∪Ｋが成立。 です。
関連するQ&A
- 群Gの部分集合Hが部分群になるための必要十分条件
お世話になります。よろしくお願いします。 群Gの部分集合Hが部分群になるための必要十分条件が HH^(-1)＝H であることを証明したいのですが、 「HH^(-1)⊆H」の部分までの証明は理解できたのですが、 等号を示すことができません。 分かる方、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分群になるための必要十分条件
群Gの部分集合HがGの部分群であるための必要十分条件は (1)HH⊂HかつH＾（-1)⊂H または (2)HH＾（-1)⊂H であるということがありあすが、 HH＾（-1)＝Hだけで必要十分条件だと言えますか？ つまり、群Gの部分集合HがGの部分群である⇔HH＾（-1)＝H は真でしょうか？（⊂でなく＝） できれば証明のヒントもください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 群の部分群の必要十分条件
このような命題がありました。 ＜＜ 群Gの部分集合HがGの部分群になるための必要十分条件は、次の三つの条件が満たされる事である。 (1) 1G <- H *集合Gの単位元の事。本ではGの字は右下にGとなっています。 (2) x,y <- H なら xy <- H (3) x <- H なら xの逆元Xマイナス１ はHの元である。 ＞＞ これの証明に ＜＜ Hが部分群であるとか仮定する。Hの演算はGの演算と一致するので、1H*1H=1H(*Hは右下に大文字）がGの演算により成り立つ。１Hの逆元１Hマイナス１を左からかけて、1H=1Gとなる。よって、１G <- H となり、(1)が成り立つ。＞＞ ここの＜＜ １Hの逆元１Hマイナス１を左からかけて、１H=1Gとなる。よって、１G <- H となり、(1)が成り立つ。 ＞＞の部分。 １。なにゆえ左からかけるのか？ 右からではいけないのか？ ２。１Hマイナス１をかけてなにゆえ１G 集合Gの単位元になるのか？1Hマイナス１をかけているので、（1Hマイナス１)*1H*1H=(1Hマイナス1)*1H これから何故１H=1Gの１Gがでてくるのか？ 大学は何年も前に卒業。独学で自習しているものです。 よろしくねがいます。
- 締切済み
- 数学・算数
- 群Ｇの部分集合Ｍによって生成されるGの部分群
定理 群Gの部分集合Ｍによって生成される部分群H＝〈Ｍ〉はＭを含むGの部分群のうち最小なものである。 証明 H⊃ＭであることはHの定義より明らかである。また、Ｍを含むGの任意の部分群をＵとすれば、Ｍの元のべき積はすべてＵに含まれ、H⊂Ｕを得る。したがって、HはＭを含む最小な部分群である。 (1)なぜＭの元のべき積で表される元の全体Hは明らかにGの部分群なんでしょうか。 例えばもし部分集合Ｍに単位元、逆元がなかったらHは部分群にならないように思えます。 (2)証明の2文目までは理解できましたが、 「したがって」以降、つまり３文目が理解できません。H⊂ＵからなぜHが最小だと言えるのでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分群であることの必要十分条件
次の命題って間違っていませんか？ 「Ｈが群Ｇの部分集合であるとき ＨはＧの部分群である⇔ＨＨ⊂ＨかつＨ^(-1)⊂Ｈ」 具体的に言うと、 「Ｈが群Ｇの『空でない』部分集合であるとき ＨはＧの部分群である⇔ＨＨ⊂ＨかつＨ^(-1)⊂Ｈ」 が正しいのではないでしょうか？ そう思った理由は次の通り： 「空でない」という部分がないならば、 Ｈ＝φとすると、 ＨＨ＝｛ａｂ|ａ,ｂ∈Ｈ｝＝φ＝Ｈ Ｈ^(-1)＝｛ａ^(-1)|ａ∈Ｈ｝＝φ＝Ｈ よりＨ＝φは右の仮定を満たす。 しかしＨが空であるのでＨは部分群ではない。 したがって右を仮定したとき左が成り立たない。// 念のため部分群の定義を述べておきます： 群Ｇの「空でない」部分集合Ｈが ＊ａ，ｂ∈Ｈ⇒ａｂ∈Ｈ ＊ａ∈Ｈ⇒ａ^(-1)∈Ｈ の二条件を満たすとき、Ｈは群Ｇの部分群であるとする。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分群であることの証明
部分群であることの証明 Gを群、Hをその部分集合とし、a,b∈Gに対し、「a～b⇔ab^(-1)∈H」なる～ が同値関係であるとする。このとき、HはGの部分群であることを証明してほしいです。 部分群であることを証明するには、(1)結合法則が成り立つこと(2)単位元の存在(3)逆元の存在が言えればいいこと、 同値関係の定義については理解しています。 ですが証明文を書くことができず、困っています。 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数学 交換子群は部分群か
いつもお世話になります。 交換子群というのありますよね？[H,K]という、H,Kの二つのGの部分群で構成されている交換子群はどうやったらGの部分群だとわかりますか？証明方法がピンときません。二つの交換子の積が交換子になっていればいいのでしょうが・・・。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでし
位数45の群が位数9の正規部分群をもつことの証明はどうすればいいのでしょうか？ シローの定理が必要だとおもうのですが。。。 <シローの定理> (1)p^r | |G| ==> Gは位数p^rの部分群をもつ よってシローp-部分群は存在する (2)H: Gのp-部分群とすれば Hを含むシローp-部分群が存在する (3)シローp-部分群は互いにG共役 (4)シローp-部分群の個数は 1+k*p の形 (k∈Z,k≧0)
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
助かりました。本当にありがとうございます。