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代数学の問題です。

ものすごく考えてもなかなか出来なくて 困っています。 Gを群とし、H、KをGの部分群とする。 H　または　K　がGの部分群となるためには、 HがKに含まれる　または　KがHに含まれることが 必要十分条件であることを示せ。 H　または　K　が部分群とならない例をあげよ。 出来たらくわしく教えてほしいです。 お願いします。

noname#187824
noname#187824

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  • 回答No.4

> (H　∪　K)　がGの部分群となるためには、 > H⊂K　または　K⊂Hが > 必要十分条件であることを示せ。 まず，十分条件であることを示す。 H⊂Kならば(H　∪　K)=Kなので，Kは部分群であるから(H　∪　K)は部分群である。 K⊂Hならば(H　∪　K)=Hなので，Hは部分群であるから(H　∪　K)は部分群である。 次に必要条件であることを示す。 逆に，(H　∪　K)が部分群だとし， H⊂Kでなく，かつ　K⊂Hでないとする。 差集合H-K，K-Hはともに空集合ではないので，それらの要素 x∈Hかつ(x∈Kでない)x y∈Kかつ(y∈Hでない)y をとり，その積z=x*yを作る。 (H　∪　K)は部分群なので，zは(H　∪　K)の要素であり， HかKの少なくともどちらかの要素である。 zがHの要素だとする。Hは部分群なのでx^-1を含む。 y=x^-1*zは，Hの要素同士の掛け算なので，Hの元のはずである。 これは「y∈Kかつ(y∈Hでない)y」に反する。 同様に， zがKの要素だとする。Kは部分群なのでy^-1を含む。 x=z*y^-1は，Kの要素同士の掛け算なので，Kの元のはずである。 これは「x∈Hかつ(x∈Kでない)x」に反する。 よって，「H⊂Kではなく，かつ　K⊂Hでない」は成立せず， 「H⊂Kであるか，または　K⊂Hである」が成立する。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.3

> (H　∪　K)　が部分群とならない例をあげよ。 #1の設定でH∪K={1,2,4,6}ですが， 2*6=5 4*6=3 となってはみ出してしまい，部分群にはならないです。

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  • 回答No.2

>H　または　K　がGの部分群となるためには、 「H　∪　K　がGの部分群となるためには、」 の意味ですね。 (HがGの部分群)かつ(KがGの部分群)と誤解しました。 #1は無視してください。

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  • 回答No.1

>Gを群とし、H、KをGの部分群とする。 >H　または　K　がGの部分群となるためには、 >HがKに含まれる　または　KがHに含まれることが >必要十分条件であることを示せ。 ホントかな? G={1,2,3,4,5,6} H={1,6} K={1,2,4} として，積は掛けて7で割った余りをとる定義にします。 (mod 7の剰余群と言う呼び方でしたっけ) HもKもGの部分群になっていて，かつ >HがKに含まれる　または　KがHに含まれる は成立していないのだけど。 群論，学部の頃に少し勉強したものの，以降30年ブランクなので， 違っていたらごめんなさい。

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