必要条件と十分条件

質問

こんにちは。

１）この問題について教えてください。

ａ＞０，ｂ＞０とする、２ａｂ＞１はａ^２＋ｂ^２＞１であるための条件は？
答え、２ａｂ＞１は十分条件

解説を考えてもわからないのです。
２ａｂ＞１→ａ^２＋ｂ^２＞１は真（このへんもよくわかってないのです）。
証明ａ^２＋ｂ^２－１＞ａ^２＋ｂ^２－２ａｂ＝（ａ－ｂ）^２＝＞０
ａ^２＋ｂ^２＞１→２ａｂ＞１は偽。反例　ａ＝２、ｂ＝０．１

まず上記解説のａ^２＋ｂ^２－２ａｂ←こうなってしまうのがどうしてか？
（ａ－ｂ）^２＝＞０で証明されているようですが、このへんも悩むところです。
偽であることを証明する場合、ｂ＝０．１が思いつかなかったです。

２）あと、上記のようなちょっとややこしい必要条件か十分条件かを解く問題は
どうすれば解きやすいのかよくわかっていません。

なんらかの数値を代入して真か偽か調べる。
背理法を使う。

どういう方法で解くといいのでしょうか？解き方もご教授ください。

回答No.1

TK0318 · ベストアンサー

まず（１）から

２ａｂ＞１が成り立つということは
－２ａｂ＜－１が成り立つ
ａ^２＋ｂ^２＞０なので
ａ^２＋ｂ^２－２ａｂ＜ａ^２＋ｂ^２－１が成り立つ
左辺は
ａ^２＋ｂ^２－２ａｂ＝（ａ－ｂ）^２＞＝０
なので
ａ^２＋ｂ^２－１＞ａ^２＋ｂ^２－２ａｂ＝（ａ－ｂ）^２＞＝０
より
ａ^２＋ｂ^２－１＞＝０
ａ^２＋ｂ^２＞１
よって示された。

偽の場合は示されているので略

（２）
とりあえず単純な値（０，０）や極端な値（２、－０．０００１）をいくつか入れて見ることです。この両方が成り立てば大抵真です。

お礼

すばやい回答ありがとうございました。
すっごいわかりやすかったです。

２）についてはもうちょっとみなさんの意見を聞きたいので
別すれを立てたいと思います。
またよろしくお願いします。