4点 必要十分条件

質問

平面上の異なる4点をA,B,C,Dとすると、AC⊥BDであるための必要十分条件は
AB²+CD²=AD²+BC²である。これを証明するとき、
必要条件かどうかは、AC⊥BDとし、ACとBDとの交点Oとする。・・・で納得できたのですが、
十分条件かどうかを証明するとき、AB,ADを2辺とする平行四辺形ABEDをつくると、と証明が続いていくのがわかりません。平面上の異なる4点が台形の場合を除いていると思います。
なぜ平行四辺形ABEDでいいのかを解説してください。お願いします。

回答No.4

178-tall

ANo.2
>自分の頭では理解できませんが …

線分 AC と線分 BD が交差している場合は、参考 URL など。
じかに交差してない場合は、交差点まで延長すれば、同様に証明可。

「この証明を考えるとき、複素数平面を知っていると非常に楽である」という補足もあり。

参考URL：

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/length/verticality.htm

お礼

繰り返しお返事、ありがとうございます。参考ページは見ておきます。

回答No.3

staratras

複素平面で考えるとわかり易いかもしれません。

複素平面上で、異なる4点A,B,C,Dを表わす複素数をそれぞれZa,Zb,Zc,Zdとすると、
AB²+CD²=AD²+BC²から
｜Za-Zb｜^2+｜Zc-Zd｜^2=｜Zd-Za｜^2+｜Zb-Zc｜^2 が成り立ちます。

上式を共役複素数を使って変形すると最終的に次の式が導けます。
ここで【z】はzの共役複素数を示しています。

(Za-Zc)【Zb-Zd】+【Za-Zc】(Zb-Zd)=0　これはAC⊥BDを示しています。

お礼

複素数でも証明すること、ができるんですね、ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

>十分条件かどうかを証明するとき、AB,ADを2辺とする平行四辺形ABEDをつくると、と証明が続いていくのがわかりません。平面上の異なる4点が台形の場合を除いていると思います。

>なぜ平行四辺形ABEDでいいのかを解説してください。

三角形 ABD あるいは平行四辺形 ABED だけから、「十分条件」を導けるとは思えない。

たとえば、AC を C 側へ延長した直線と、BD を B 側へ延長した直線との交点が E の場合、
|AC| = a, |BD| = b, 角 E = θ とすれば、|AB|^2 + |CD|^2 = |AD|^2 + |BC|^2 のとき、ab*cosθ = 0 が成り立ち、θ= 直角を導出できる模様です。

お礼

自分の頭では理解できませんが、お返事ありがとうございます。

回答No.1

noname#227255

模範解答の詳細が分からず、なぜ点Eが出てくるのかも分からないので、平行四辺形であるとか台形であるとかを全く考えない自分なりの解法をお伝えします。

ACとBDとの交点をOとし、∠AOB=θとすると、△ABO、△BCO、△CDO、△DAOにおいて、余弦定理から、
AB^2=OA^2+OB^2-2*OA*OB*cosθ
BC^2=OB^2+OC^2-2*OB*OC*cos(π-θ)
CD^2=OC^2+OD^2-2*OC*OD*cosθ
AD^2=OA^2+OD^2-2*OA*OD*cos(π-θ)

AB^2+CD^2=AD^2+BC^2であるから、
OA^2+OB^2-2*OA*OB*cosθ+OC^2+OD^2-2*OC*OD*cosθ
=OA^2+OD^2-2*OA*OD*cos(π-θ)+OB^2+OC^2-2*OB*OC*cos(π-θ)
これを整理すると、
(OA*OB+OC*OD)cosθ=(OA*OD+OB*OC)cos(π-θ)
この等式が、任意のOA、OB、OC、ODについて成り立つためには、
cosθ=cos(π-θ)=0
よって、θ=π/2であり、AC⊥BD

お礼

詳しい計算、ありがとうございます。