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高校数学の問題：四角形ABCDの性質と外接円の中心
- 高校数学の問題で、四角形ABCDの性質と外接円の中心の求め方について解説します。
- 四角形ABCDは等脚台形であり、直線Lは直線DCに平行な直線です。
- AD/BC=AF/BFが成り立ち、さらに直線ACに関する対称移動によって、点Dは点Gに移ります。
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四角形ＡＢＣＤは、すべての内角が１８０°より小さく、かつＡＤ＜ＢＣが成り立つような四角形で、4頂点のいずれをも通らないある直線Lに関する対称移動で同じ四角形に移されるものとする。このとき、点Aを通り直線DCに平行な直線と辺BCとの交点をGとし、直線AGと直線BDとの交点をE、直線CEと辺ABとの交点をFとして、 ＞次の問いに答えよ。 ＞(１)四角形ABCDはAD//BCかつAB=DCであるような等脚台形であることを証明せよ。 ＞また直線Lはどのような直線であるか。理由をつけて答えよ。 上に書かれてるような直線Ｌに関する対称移動で、点Ａは点Ｄに、点Ｂは点Ｃに移されるから、 四角形ＤＣＢＡは四角形ＡＢＣＤと全く同じ四角形です。 だから、ＡＢ＝ＤＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ また、Ｌに関する対称移動だから、ＡＤ⊥Ｌ，ＢＣ⊥Ｌより、ＡＤ//ＢＣ よって、四角形ＡＢＣＤは、等脚台形 また、直線ＬはＡＤとＢＣの中点を通る直線 ＞(２)AD/BC=AF/BFが成り立つとき、GB/GCの値を求めよ。 ＡＤ：ＢＣ＝ＡＦ：ＢＦ＝ａ：ｂとおく。 ＡＤ//ＧＣ，ＡＧ//ＤＣより、四角形ＡＧＣＤは平行四辺形だから、ＡＤ＝ＧＣ …（１） よって、ＧＣ：ＢＣ＝ａ：ｂ …（２） △ＡＥＤと△ＧＥＢとで、 ∠ＡＥＤ＝∠ＧＥＢ（対頂角が等しい） ∠ＥＡＤ＝∠ＥＧＢ（ＡＤ//ＢＣより錯角が等しい） ２つの角が等しいから、△ＡＥＤ相似△ＧＥＢ よって、ＧＢ：ＡＤ＝ＧＥ：ＡＥ （１）より、ＧＢ：ＧＣ＝ＧＥ：ＥＡ …（３） メネラウスの定理より、 （ＡＦ／ＦＢ）（ＢＣ／ＣＧ）（ＧＥ／ＥＡ）＝１だから、 （２）より、（ａ／ｂ）（ｂ／ａ）（ＧＥ／ＥＡ）＝１ よって、ＧＥ：ＥＡ＝１：１ （３）より、ＧＢ：ＧＣ＝１：１だから、 よって、ＧＢ／ＧＣ＝１ ＞(３)AD/BC=AF/BFが成り立ち、さらに、直線ACに関する対称移動によって、 ＞点Dは点Gに移るものとする。 ＞このとき、台形ABCDの外接円の中心を求めよ。 AD/BC=AF/BFが成り立ちから、（２）の結果より、ＧＢ＝ＧＣ …（１） 四角形ＡＧＣＤは平行四辺形で、 直線ACに関する対称移動によって点Dは点Gに移るから、ＡＣ⊥ＤＧ だから、四角形ＡＢＣＤはひし形 よって、ＡＧ＝ＧＣ＝ＤＣ＝ＡＤ （１）の結果から、ＡＢ＝ＤＣ これらと（１）より、 ＡＢ＝ＢＧ＝ＡＧより、△ＡＢＧは正三角形 よって、∠ＡＢＧ＝６０度 …（２） （１）の結果より、∠Ｃ＝∠ＡＢＧ＝６０度 △ＤＣＧは、ＧＣ＝ＤＣから二等辺三角形で、 ＡＣ⊥ＤＧより、ＣからＤＧへの垂線は、∠Ｃの二等分線でもあるから、 ∠ＡＣＧ＝３０度 …（３） △ＡＢＣで、（２）（３）より、 ∠ＢＡＣ＝１８０－∠ＡＢＣ－∠ＡＣＢ＝９０度 これは、外接円の弧ＢＣ上の円周角だから、ＢＣは外接円の直径 よって、（１）より、 外接円の中心は、点Ｇである。 のようになりましたが。。図を描いて考えて下さい。
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- ferien
- ベストアンサー率64% (697/1085)
ＡNo.2です。 少し訂正です。 ＞また、直線ＬはＡＤとＢＣの中点を通る直線 を ＞また、直線ＬはＡＤとＢＣに垂直で、それぞれの中点を通る直線 でお願いします。 （垂直であることは説明の中にありますが）
お礼
ありがとうございます。
- nag0720
- ベストアンサー率58% (1093/1860)
(１)方針だけ 線分AD（向きも考慮）が直線Lに関する対称移動したとき、どの線分に移動するかを考える。 向きは反転するから、線分AB,BC,CD,DAのどれかだが、 BCは長さが違うので不可、 ABは頂点Aが移動していないから不可（直線Lは4頂点を通らないので） CDは頂点Dが移動していないから不可 なので、線分ADは線分DAに移動する。 直線Lは線分ADの垂直二等分線。 (2) AD/BC=GC/BC=△FGC/△FBC AF/BF=△FAC/△FBC なので、△FGC=△FAC よって、AE=GEよりAD=BG GB/GC=AD/GC=1 (3) DC=GCなので、△CDG、△ADG、△ABGは正三角形 台形ABCDの外接円の中心は点G
お礼
ご回答ありがとうございます。
お礼
わかりやすいご説明ありがとうございます。