高校数学の問題です。

質問

解こうとしましたが、最初からできませんでした。
すみませんが、ご回答よろしくお願いします。

四角形ＡＢＣＤは、すべての内角が１８０°より小さく、かつＡＤ＜ＢＣが成り立つような四角形で、4頂点のいずれをも通らないある直線Lに関する対称移動で同じ四角形に移されるものとする。このとき、点Aを通り直線DCに平行な直線と辺BCとの交点をGとし、直線AGと直線BDとの交点をE、直線CEと辺ABとの交点をFとして、次の問いに答えよ。

(１)四角形ABCDはAD//BCかつAB=DCであるような等脚台形であることを証明せよ。また直線Lはどのような直線であるか。理由をつけて答えよ。

(２)AD/BC=AF/BFが成り立つとき、GB/GCの値を求めよ。

(３)AD/BC=AF/BFが成り立ち、さらに、直線ACに関する対称移動によって、点Dは点Gに移るものとする。
このとき、台形ABCDの外接円の中心を求めよ。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

四角形ＡＢＣＤは、すべての内角が１８０°より小さく、かつＡＤ＜ＢＣが成り立つような四角形で、4頂点のいずれをも通らないある直線Lに関する対称移動で同じ四角形に移されるものとする。このとき、点Aを通り直線DCに平行な直線と辺BCとの交点をGとし、直線AGと直線BDとの交点をE、直線CEと辺ABとの交点をFとして、
＞次の問いに答えよ。

＞(１)四角形ABCDはAD//BCかつAB=DCであるような等脚台形であることを証明せよ。
＞また直線Lはどのような直線であるか。理由をつけて答えよ。
上に書かれてるような直線Ｌに関する対称移動で、点Ａは点Ｄに、点Ｂは点Ｃに移されるから、
四角形ＤＣＢＡは四角形ＡＢＣＤと全く同じ四角形です。
だから、ＡＢ＝ＤＣ，∠Ｂ＝∠Ｃ
また、Ｌに関する対称移動だから、ＡＤ⊥Ｌ，ＢＣ⊥Ｌより、ＡＤ//ＢＣ
よって、四角形ＡＢＣＤは、等脚台形
また、直線ＬはＡＤとＢＣの中点を通る直線

＞(２)AD/BC=AF/BFが成り立つとき、GB/GCの値を求めよ。
ＡＤ：ＢＣ＝ＡＦ：ＢＦ＝ａ：ｂとおく。
ＡＤ//ＧＣ，ＡＧ//ＤＣより、四角形ＡＧＣＤは平行四辺形だから、ＡＤ＝ＧＣ　…（１）
よって、ＧＣ：ＢＣ＝ａ：ｂ　…（２）
△ＡＥＤと△ＧＥＢとで、
∠ＡＥＤ＝∠ＧＥＢ（対頂角が等しい）
∠ＥＡＤ＝∠ＥＧＢ（ＡＤ//ＢＣより錯角が等しい）
２つの角が等しいから、△ＡＥＤ相似△ＧＥＢ
よって、ＧＢ：ＡＤ＝ＧＥ：ＡＥ
（１）より、ＧＢ：ＧＣ＝ＧＥ：ＥＡ　…（３）
メネラウスの定理より、
（ＡＦ／ＦＢ）（ＢＣ／ＣＧ）（ＧＥ／ＥＡ）＝１だから、
（２）より、（ａ／ｂ）（ｂ／ａ）（ＧＥ／ＥＡ）＝１
よって、ＧＥ：ＥＡ＝１：１
（３）より、ＧＢ：ＧＣ＝１：１だから、
よって、ＧＢ／ＧＣ＝１

＞(３)AD/BC=AF/BFが成り立ち、さらに、直線ACに関する対称移動によって、
＞点Dは点Gに移るものとする。
＞このとき、台形ABCDの外接円の中心を求めよ。
AD/BC=AF/BFが成り立ちから、（２）の結果より、ＧＢ＝ＧＣ　…（１）
四角形ＡＧＣＤは平行四辺形で、
直線ACに関する対称移動によって点Dは点Gに移るから、ＡＣ⊥ＤＧ
だから、四角形ＡＢＣＤはひし形
よって、ＡＧ＝ＧＣ＝ＤＣ＝ＡＤ
（１）の結果から、ＡＢ＝ＤＣ
これらと（１）より、
ＡＢ＝ＢＧ＝ＡＧより、△ＡＢＧは正三角形
よって、∠ＡＢＧ＝６０度　…（２）
（１）の結果より、∠Ｃ＝∠ＡＢＧ＝６０度
△ＤＣＧは、ＧＣ＝ＤＣから二等辺三角形で、
ＡＣ⊥ＤＧより、ＣからＤＧへの垂線は、∠Ｃの二等分線でもあるから、
∠ＡＣＧ＝３０度　…（３）
△ＡＢＣで、（２）（３）より、
∠ＢＡＣ＝１８０－∠ＡＢＣ－∠ＡＣＢ＝９０度
これは、外接円の弧ＢＣ上の円周角だから、ＢＣは外接円の直径
よって、（１）より、
外接円の中心は、点Ｇである。

のようになりましたが。。図を描いて考えて下さい。

お礼

わかりやすいご説明ありがとうございます。

回答No.3

ferien

ＡNo.2です。　少し訂正です。

＞また、直線ＬはＡＤとＢＣの中点を通る直線
を
＞また、直線ＬはＡＤとＢＣに垂直で、それぞれの中点を通る直線
でお願いします。
（垂直であることは説明の中にありますが）

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

nag0720

(１)方針だけ
線分AD（向きも考慮）が直線Lに関する対称移動したとき、どの線分に移動するかを考える。
向きは反転するから、線分AB,BC,CD,DAのどれかだが、
BCは長さが違うので不可、
ABは頂点Aが移動していないから不可（直線Lは4頂点を通らないので）
CDは頂点Dが移動していないから不可
なので、線分ADは線分DAに移動する。
直線Lは線分ADの垂直二等分線。

(2)
AD/BC=GC/BC=△FGC/△FBC
AF/BF=△FAC/△FBC
なので、△FGC=△FAC
よって、AE=GEよりAD=BG
GB/GC=AD/GC=1

(3)
DC=GCなので、△CDG、△ADG、△ABGは正三角形
台形ABCDの外接円の中心は点G

お礼

ご回答ありがとうございます。