台形の問題がわかりません。教えてください。

質問

数Iの範囲のようなのですが、全く解けません。どなたか回答をよろしくお願いします。

台形ＡＢＣＤにおいて辺ＡＤと辺ＢＣは平行である。ＡＢ＝６ｃｍ　ＢＣ＝１５ｃｍ　ＡＤ＝１０ｃｍであり、ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１/5である。対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとする。以下の各問に答えなさい。

(1)ＡＣの長さはいくつか。
(2)ＡＥの長さはいくつか。
(3)ＤＣの長さはいくつか。
(4)ｓｉｎ∠ＤＡＣの値はいくらか。
(5)△ＡＤＥの面積はいくらか。

よろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞台形ＡＢＣＤにおいて辺ＡＤと辺ＢＣは平行である。ＡＢ＝６ｃｍ　ＢＣ＝１５ｃｍ　ＡＤ＝１０ｃｍであり、
＞ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝1/5である。対角線ＡＣとＢＤの交点をＥとする。以下の各問に答えなさい。

＞(1)ＡＣの長さはいくつか。
△ＡＢＣで、余弦定理より、
AC^2＝AB^2＋BC^2－2・ＡＢ・ＢＣ・cos∠ABC
＝6^2＋15^2－2・6・15・(1/5)
＝225　より、AC＝15

＞(2)ＡＥの長さはいくつか。
△ADEと△CBEとで、
AD//BCより、２組の錯角が等しいから、
よって、２つの角が等しいから、
△ADE∽△CBE
これから、
AE：CE＝AD：CB＝10：15＝2：3より、AE：AC＝2：5だから、
AE＝(2/5)AC＝(2/5)・15＝6

＞(3)ＤＣの長さはいくつか。
△ABCで、余弦定理より、
cos∠ACB＝(AC^2＋BC^2－AB^2)/2・AC・BC
＝(15^2＋15^2－6^2)/2・15・15
＝414/2・225
＝23/25
AD//BCから、錯角が等しいから、∠DAC＝∠ACBより、
cos∠DAC＝23/25　……(*)

△ACDで、余弦定理より、
DC^2＝AD^2＋AC^2－2・AD・AC・cos∠DAC
＝10^2＋15^2－2・10・15・(23/25)
＝49　より、DC＝7

＞(4)ｓｉｎ∠ＤＡＣの値はいくらか。
(*)より、
sin^2∠DAC＝1－cos^2∠DAC
＝1－(23/25)^2
＝96/25＾2より、
よって、sin∠DAC＝4√6/25

＞(5)△ＡＤＥの面積はいくらか。
面積＝(1/2)・AD・AE・sin∠DAE（∠DAC＝∠DAE）
＝(1/2)・10・6・(4√6/25)
＝24√6/5

図で確認してみてください。

お礼

ferienさんへ
細かく説明してくださり、ありがとうございました。
解けずに投げ捨てようとしていた問題が理解できました。
余弦定理をすっかり忘れていたので、一人では回答にたどりつかなかったです。
ありがとうございました。

回答No.1

sogou

答えがないので合っているかはわかりませんが

(1)ＡＣの長さはいくつか。
　△ABCで余弦定理使えば解けると思います

(2)ＡＥの長さはいくつか。
　(1)で出した長さを△ADEと△BCEは相似なので相似比で出せると思います

(3)ＤＣの長さはいくつか。
　△ABEと△DECで余弦定理(cos∠E)で連立方程式を作ればいけると思います
　でも多分もっと簡単な方法があったような気もします…思い出せませんorz

(4)ｓｉｎ∠ＤＡＣの値はいくらか。
　△DACを余弦定理でcos∠DACを出して、sinに変える…面倒ですね。他に簡単な方法ある気が…

(5)△ＡＤＥの面積はいくらか。
　(4)で出したsinと(2)で出したAEとADで面積の公式を使えば出せると思います

こんな回答で申し訳ないです…少しでも役に立てればうれしいです
頑張ってください！

お礼

sogouさんへ
すぐに回答して頂きありがとうございました。
全く解き方がわからなかったので、よきヒントになりました。
導く方法を教えて頂いたので、他にも応用ができそうです。
ありがとうございました。