三角形と台形の問題

質問

△ABCの∠C, ∠Bの二等分線が辺AB, ACと交わる点を、それぞれ、D, Eとする。
DE//BCならば、AB=ACとなることを証明せよ。

教科書で
直線BEは∠Bの二等分線であるから
BA:BC=AE:EC
直線CDは∠Cの二等分線であるから
CA:CB=AD:DB

DE//BCから　AE:EC=AD:DB

以上から、BA:BC=CA:CB　←ここが解りません。

どうして上の3つの比の式から、上のような比の式ができるのでしょうか？

AD//BCである台形ABCDにおいて、辺BC, DAを等しい比 m:n に内分する点を
それぞれ P, Qとする。このとき、3直線AC, BD, PQ は1点で交わることを証明せよ。

ACとBDの交点をRとして、ACとPQの交点をR`とすると

AR:RC=AD:BC
AR`:R`C=AQ:PC

AQ=AD*n/(m+n), PC=BC*n/(m+n)をAR`:R`C=AQ:PCの式に代入して
AR`:R`C=AD*n/(m+n):BC*n/(m+n)
とすると
AR`:R`C=AD:BC ←こう変化するのがわかりません
どうしてn/(m+n)は消えてしまったのでしょうか？

またこういう問題を解くのは苦手なんですが、解く上での心構えなどないでしょうか？
おねがいします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

No1です。
　後で読んでみると、最初に書いた回答の書き方が悪かったです。
　「両方を割って」というのは、
　「＝の右側のAD*n/(m+n):BC*n/(m+n)の両方を割って」
　ということでした。＝の左側はそのままです。
　曖昧な書き方ですみませんでした。

＞解く上での心構えなどないでしょうか？
　　図形の問題はどれだけ定理を知っていて、それを適切に
　　使うことができるかだと思います。それには、いろいろな
　　問題にあたって使う練習をしたり問題から学んだりして
　　力をつけるしかないような気がします。

お礼

ありがとうございました！
理解できました！

回答No.2

debut

No1です。
＞AR`*n/(m+n):R`Cn/(m+n)=AD:BC
＞になっちゃわないでしょうか？
　　なってもいいし、ならなくてもいい、というのが比の
　　性質です。
　　方程式のようなものではないので、＝の右側だけを
　　同じ数で割ったり、同じ数をかけたりしても、＝の
　　左側はそのままでもいいのですよ。

　　また、比は分数とも同じ（Ａ：Ｂ→Ａ/Ｂ）なので、
　　AR`:R`C=AD*n/(m+n):BC*n/(m+n)を
　　AR`/R`C={AD*n/(m+n)}/{BC*n/(m+n)}としてみれば
　　右辺のn/(m+n)を約分して
　　AR`/R`C=AD/BC →AR`：R`C＝AD：BC とできます。

回答No.1

debut

３つ書き並べてみれば
BA:BC=AE:EC・・(1)
CA:CB=AD:DB・・(2)
AE:EC=AD:DB・・(3)
(3)では、(1)と(2)の右辺は等しいといっているので、
(1)と(2)の左辺も等しくなります。
よって、BA:BC=CA:CB　です。

＞どうしてn/(m+n)は消えてしまったのでしょうか？
　　比は両方を同じもので割ってもよかったですよね。
　　例えば、２ａ：３ａはａで割って、２：３
　　同じ考えで、n/(m+n)で両方を割ればＡＤ：ＢＣとできます。

補足

ありがとうございました

質問なんですが

AR`:R`C=AD*n/(m+n):BC*n/(m+n)
とすると
AR`:R`C=AD:BC

これにn/(m+n)で両方を割ったら
AR`*n/(m+n):R`Cn/(m+n)=AD:BC
になっちゃわないでしょうか？

ここがよく分かりません。
教えてください。