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中学生の幾何の問題で

塾で講師のバイトをしてるのですが、一つだけどうしてもわからない 問題があるのでどうか教えてください。 平行四辺形ABCDの辺CD上の点Eを通って、対角線BDに平行に 引いた直線と辺ADの延長との交点をFとし、直線AEと辺BCの 延長との交点をGとすれば、四角形DEGFの面積は平行四辺形 ABCDの面積の半分に等しい事を証明せよ。 奈良県の某有名私立中学の期末テストの問題なのですが、まだ中1 で相似を習っていないので出来れば相似を使わない解法で お願いしますm(_)m

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平行線と比の関係を使って計算で強引に出せばもちろん出ますが, それは実質的に相似と同じ話になるでしょうから,そうでない解を示します. 少々技巧的になるのはやむを得ないのではないでしょうか. [証] 平行四辺形ABCDの面積をSとする. ΔACD=(1/2)S ・・・(1) ADを底辺とみると ΔACD=ΔAGD=(1/2)S ΔACD=ΔACE+ΔAED ・・・(2) と分けて考える. まず ΔACE=ΔDEG・・・(3) である. (∵ΔACE=ΔACD-ΔAED=(1/2)S-ΔAED   であり,一方 ΔDEG=ΔAGD-ΔAED=(1/2)S-ΔAED) よって,あとは ΔAED=ΔDGF を示せばよいが, それは等積変形により以下のように示される. ΔAED=ΔBED  (∵DEを底辺とみて AB//DE より)   =ΔBFD  (∵BDを底辺とみて BD//EF より)   =ΔDGF  (∵DFを底辺とみて DF//BG より) よって ΔAED=ΔDGF ・・・(4) が示せた. 以上 (1)~(4)より 平行四辺形DEGF=ΔDEG+ΔDGF=ΔACE+ΔAED=ΔACD=(1/2)S よって題意は示された. [証明おわり]

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質問者からのお礼

やっぱこういう風に解くんですか。その生徒の使ってるテキストに 似た問題があったのでそれで解くんだなとなんとなく見当はつけてたの ですがどう活用したらいいのかよくわからなかったんです。 ありがとうございました。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • kony0
  • ベストアンサー率36% (175/474)

平行線による三角形の等積変形だけで。 AD//CG より △ACE=△DGE よって、あとは△AED=△GFDを示せばよい。 △AED=△BED (AB//DE) = △BFD (BD//EF) = △GFD (DF//BG) ちなみに、△ACE=△DGE は、△ACG=△DCG を言ったあと、両辺から△ECGを引く、というプロセスを踏むべきかもしれません。

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質問者からのお礼

やはり面積の等しい問題って等積変形をよく使って解かなきゃ いけないんですね。最初は三角形の合同ばっかり考えてたので 全くこんな回答思いつきもしなかったのですが。ありがとうございます。

  • 回答No.2
  • weasel
  • ベストアンサー率34% (35/102)

既に回答出てしまっていますが解けて嬉しかったので書きます。(図がないので分りにくいかもしれませんが) CD:ED=x:(1-x) また、平行四辺形ABCEの面積を1とします。 そうすると三角形AEDの面積は 平行四辺形ABCDの(1-x)/2 次に三角形AFGを考えます。 底辺が同じで高さが同じならその面積は等しくなるので 三角形AFGと三角形AFCの面積は等しくなります。 三角形AFCは三角形ADCと三角形DFCからなります。 三角形ADCは平行四辺形と比べると1/2 またここで直線EFと辺BCとの交点をHとすると 条件より三角形DFCと三角形BHAの面積は等しくなります。 ここから相似を使わないといけないのですが工夫したら使わない方法もあるかもしれません。 条件より CEB∽CDB これによりCE:ED=CH:HB それを使い平行四辺形と三角形DFCの面積の比を求めると(1-x)/2 以上より平行四辺形を1とすると三角形AFGは 1/2+(1-x)/2 四角形DEGFは三角形AFG-三角形AED つまり 1/2+(1-x)/2-(1-x)/2=1/2 となる。

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質問者からのお礼

こんな解き方もあるんですね。ありがとうございます。 多少タイピング間違いと思われるトコロもありますが( ̄▽ ̄; なんとかわかりました。勝手な解釈ですけど 上から3行目はCD:EDじゃなくてCE:EDですよね? あと4行目は平行四辺形ABCEじゃなくてABCDだと 思って回答を見せてもらいました。

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