数Aの比の問題

質問

問.上底の長さがa,下底の長さがbの台形がある。この台形の対角線の交点を通り、底に平行な直線が台形の他の2辺によって切り取られる線分の長さをa,bであらわせ。

【解説（答え）】
AD平行BC,AD＝a,BC=bである台形ABCDを考える。
この台形の対角線の交点をEとし、長さを求める線分の両端をX,Yとする。

ここまではわかります。
ですが
「AD平行BCであるから
AE:EC=DE:EB=a:b
XE平行BCであるから
XE:BC=AE:AC=a:(a+b)
よって、XE=a/a+b BC=ab/a+b」
この「」内が意味不明です。
どうして、XE=a/a+b BC=ab/a+b　なんて数値がでてくるのでしょうか
また、
AD平行BCであるから
AE:EC=DE:EB=a:b
XE平行BCであるから
XE:BC=AE:AC=a:(a+b)

これが成り立つ定理ってありましたっけ？

回答お願いします。
テスト前なのでできれば早めに・・・。

回答No.1

tksmsysh · ベストアンサー

その解説は本当に正しいですか?
>よって、XE=a/a+b BC=ab/a+b
BC=bとしたのにBC=ab/a+bはおかしいですね。

>これが成り立つ定理ってありましたっけ？
まずは、台形ABCDを作図しましょう。
相似な関係にある三角形が二組見えてきませんか?
一つは△AED∽△CEBです。相似な三角形では対応する辺の比が等しいですね。それを表す式が「AD平行BCであるからAE:EC=DE:EB=a:b」です。
もう一つは△AXE∽△ABCです。これは「XE平行BCであるからXE:BC=AE:AC=a:(a+b)」に対応します。

XE:BC=AE:AC=a:(a+b)
⇔XE:BC=a:(a+b)
⇔XE=ab/(a+b)
です。残りも同様に出せるでしょう。

では、テスト頑張ってください。

お礼

すみません、↑の補足に追加なんですが
答えのとき方じゃできないかもしれないので
別解のヒント等を教えて頂けませんか。

BC=ab/a+b　を使わないやり方で。

補足

>これが成り立つ定理ってありましたっけ？
についてはとてもわかりやすく、理解することができました。
ありがとうございました＾＾

>その解説は本当に正しいですか?

はい・・・いま確認しましたが正しいです；；

回答No.2

arrysthmia

←No.1 補足
BC = ab/(a+b) を使ってはいけません。
No.1 の回答を、ちゃんと読みましょう。
XE = a/(a+b) も、BC = ab/(a+b) も、正しくありません。
貴方の読み違えでなければ、テキストの解説が間違って
いるのでしょう。

質問の「 」部分は、
「 AD // BCであるから
AE : EC = DE : EB = a : b
XE // BC であるから
XE : BC = AE : AC = a : (a+b) 」
までが正解。
その理由は、tksmsysh さんが解説済みです。

よって、XE : b = a : (a+b) より、XE = ab/(a+b)。
比の内項の積と外項の積については、知っていますね？

後は、全く同様に YE を計算してもよいし、
最初から XE = YE に着目してもよい。

お礼

解けました。本当にありがとうございます。