平面幾何の問題

質問

台形ABCD,AD//BC,AD<BC,ABとCDの交点をEとする。
∠APE＝∠PCBであるように点Pを台形ABCD内にとる。
このとき、∠EPD=∠PBCになることを示せ。

いろいろ考えたんですが、どうしても解けません。
だれか教えてください。

回答No.2

mirage70 · ベストアンサー

等脚台形でなく、台形でしたね。
考えは同じで良く、EPとADの交点をRとし、EQとBCの交点をSとすると、△EAP∽△EBQより、EA : EB=EP : EQ…(1)
同様に、AR//BSより、△EAR∽△EBSよって、
EA : EB=ER : ES…(2)
(1) , (2)より、EA : EB=EP : EQ=ER : ES…(3)
同様に、△ERD∽△ECSより、ER : ES=ED : ECここで、(3)より、ER : ES=EP : EQであるから、
ER : ES=EP : EQ=ED : EC が成立する。
よって、相対する二辺の比と、狭角が等しいので、
、△EPD∽△EQC以下は同様でして、
∠EPD=∠EQC…(4)
次に、４点PBQCは同一円上にあります。
(∠APE=∠BQP=∠BCPより)
弧PCについて考えると、∠PBC=∠PQC…(5)
(4) , (5)より、∠EPD=∠PBC

お礼

解答ありがとうございます。この補助線は気づきませんでした・・。なるほど勉強になりました。本当にありがとうございました。

回答No.1

mirage70

この解答には、補助円を使うテクニックが必要です。
AP//BQ , EPの延長との交点をQとします。
同位角より∠BQE=∠APE　よって△EBQ∽△EAP
∴AE : BE=EP :EQ=ED :EC (△EAD及び△EBCは二等辺三角形)
よって、△EPD∽△EQC(相対する二辺の比と、狭角が等しい)
故に、∠EPD=∠EQC…(1)
次に、４点PBQCは同一円上にあります。(∠APE=∠BQP=∠BCPより)
弧PCについて考えると、∠PBC=∠PQC…(2)
(1) , (2)より、∠EPD=∠PBC