必要条件と十分条件の問題

質問

よろしくお願い致します。集合の問題です。

問題文
集合Ａ、Ｂを次のように定める
A={14L+10m/Lとmは整数}
Ｂ＝{２ｎ/ ｎは整数}
このとき、x∈Aであることは、ｘ∈Bであるための○。

○ に、必要条件、十分条件のような言葉を入れます。

答えは、必要十分条件ですが、納得がいきません。
x∈A　→、ｘ∈Bは真でわかりましたが、
ｘ∈B 　→　x∈A　がどうして真なのかわかりません。

証明の仕方を教えてください。
例えば、ｘ＝6のとき、Bはすぐに満たすことがわかりますが、Aを満たす数はありますか？
あるような気もしますが、ないような気もします。
L＝3/7-5/7n
になるので・・・やりましたが、見つからないような気がしました。
いずれにしろ、任意の数でなりたってもしょうがないので、証明できるのだと思いますが、
いまいちよくわかりません。

教えていただけるとうれしいです。よろしくお願いします。

回答No.4

age_momo · ベストアンサー

#1です。
根本的な誤解があるように思います。
それぞれを書いて見ます。(任意という言葉の使い方も少しおかしいのでは?)

(1)x∈A　→　ｘ∈B

任意のL,mに対して
14L+10m=2(7L+5m)
から対応するn=(7L+5m)が存在します。
これでA⊆Bであることが示せました。
よって、少なくとも
x∈Aであることは、ｘ∈Bであるための十分条件
です。
この時点ではあるnに対してどのようなL,mを用いても
示せない可能性は残っています。

(2)ｘ∈B 　→　x∈A　

前述のように任意のnに対して

2n=14(3n)+10(-4n)

ですから任意のnに対応するL=3n,m=-4nなるL,mの組があります。
任意のnに対応するL,mが存在するので
こちらではB⊆Aあることが示せています。
よって必要十分条件です。

(1)ではどのようなL,mでも偶数になることを示しました。
(2)ではどのような偶数でも14L+10mという形で表せることを示しました。

再度書きますが、任意のL,Mについて考えるのは(1)での作業です。
(2)においてはあるL,mが存在していればよいのです。そこは混同しないでください。

なお、x=6 (n=3)のとき、少なくともL=3*3=9、m=-4*3=-12で6になります。

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
（１）はx∈A　→　ｘ∈B、の証明だから、任意のL、ｍに対してｘ∈Bが成立しなければいけない、ということですね。
（２）では、任意のｎに対してあるL、ｍが存在すれば十分条件といえるということですね。
（すいません、質問の内容などで、確かに「任意」という言葉の使い方間違っていたかもしれません。（２）では、「任意のｎに対して」であって、「任意のLとｍで」ではないですね。すみませんでした。）
なので、（２）の目的は、すべての２ｎを１４L+１０ｍの形で表すことができるか、ということですね。

すべての２ｎが１４L+１０ｍで表すことができるか？
２ｎ＝１４L+１０ｍ＝２（７L＋５ｍ）より、
すべての任意のｎに対して、ｎ＝７L＋５ｍとなるLとｍが存在すればよい、
・・・ここからがわかりません。
ご回答では、２ｎ＝１４L＋１０ｍとなるL、とｍを考えられているのですよね？

それで求めるLとｍを任意のｎを用いて表すと
＞＞2n=14(3n)+10(-4n)
となる、よって、任意のｎで成立する、ということですね。

あ、今やっとご説明していただいた内容がわかりました。
でも、すごいややこしい・・・
この問題を１０分ではできない・・・
それどころか、今は、説明していただいてやっとわかったような気がしますが、次回自分でやったらできるかどうか、、、
なんでこんなにややこしいのでしょう。

まだまだ練習がたりないのでしょうね。
度々ご回答いただいてありがとうございます。
何度も何度もやってみます。

回答No.3

noname#47894

> 7L+5mで任意の整数なのはわかったのですが、それ以降がいまひとつ

ある整数 X について、７で割った時の商をp、余りをq　とすれば、X＝7p+q　（ｐは整数、ｑは０≦q≦６を満たす整数）と書けます。例えば負の数のときでも、-13＝7×（-2）＋１　で表せますね。

ここで、X=７L+5m　と表すことを考えると、例えば
X=7p+0　：　L=p、m=0
X=7p+1　→　X=7(p-2)+5*3　：L=p-2、m=3
X=7p+2　→　X=7(p-4)+5*6　：L=p-4、m=6
X=7p+3　→　X=7(p-1)+5*2　：L=p-1、m=2
X=7p+4　→　X=7(p-3)+5*5　：L=p-3、m=5
X=7p+5　→　X=7p+5*1　：L=p、m=1
X=7p+6　→　X=7(p-2)+5*4　：L=p-2、m=4
となって、X=７L+5m　を満たすL,mが何かしら見つかるはずです。

あるいは、X＝5p+q　と書けるので、
X=７L+5mで表すとすると、
X=5p+0　：　L=0、m=p
X=5p+1　→　X=5(p-4)+7*3　：L=3、m=p-4
X=5p+2　→　X=5(p-1)+7*1　：L=1、m=p-1
X=5p+3　→　X=5(p-5)+7*4　：L=4、m=p-5
X=5p+4　→　X=5(p-2)+7*2　：L=2、m=p-2
こんな感じになります。

一方、6L＋3m　のような式の場合、任意の整数 Xに対して、X＝6L＋3m
を満足させる整数L,m　の組はありません。これは、６、３が互いに素ではない（１ではない約数がある）からです。6L＋3m、は、３の倍数にしか対応できませんね。

お礼

度々ご回答いただきまして、ありがとうございます。
ですが、きっと根本的なところがわかっていないのでしょうね。
読ませていただいても、何をしているのか、（何を導き出すためのものなのか）がわかりません。

＞ある整数 X について、７で割った時の商をp、余りをq　とすれば、X＝7p+q　
のところは、７で割っているのだから、あまりｑは０から６のいずれかになるはずなのはわかりました。
ただ、
X=7p+1、X=7p+2　・・・でｐ－２や、ｐ－４や、５にかける３や６をかかれていますが、この場合、Lとｍの変数二つなので、見つけるのが大変ですよね？これは地道に探し出すしかないということでしょうか。

後半も５で割っているので、そのあまりは０から４なので、ｘ＝５ｐ+0・・・ｘ＝５ｐ+4までかけるということですね。

最後のご説明も考慮にいれると、今回の問題では、５と７が互いに素であるから、任意の整数Xに対してX＝７L+５ｍをみたす整数Lとｍが存在するが、これが互いに素でない場合、（例えば３と６などの場合）はｘ＝６L+３ｍを満たす任意のLとｍが存在しないということですね。
ですが、互いに素な場合は任意のLとｍが存在するが、互いに素でない場合は存在しない、というのが・・・今はまだわかりません。

でも、なんとなくそんな気はします。もう一度考えてみます。ありがとうございます。

回答No.2

noname#47894

6=14*4+10*(-5)　となり、L=4、m=-5　ですので、x∈Aですね。
あるいは、
6=14*(-1)+10*(2)　でもよく、L=-1、m=2
など、無数に見つかるはずです。
なお、#１の方針に従えば、L=9、m=-12　と見つけられます。

L,ｍが整数のとき、7L+5m　は、任意の整数を表すことができます。
（もちろん、他にもそういう式は無数にあります）

ちゃんとした証明は面倒なので省きますが、
例えば、7L+5m=x　として、7L=x-5m　となりますが、
整数xに対して、順次５を加える（引く）と、7で割った余りが、２ずつ増えたり（減ったり）していくはずですね。
余りが７以上になることはないので、
例えば、２→４→６→１→３→５→０
となって、７回以内で必ず０になります。
そのとき、適当なLが（ｍも）見つかることになりますので、7L+5mで、表せない整数xは存在しないことになりますね。

計算は、自分で確認してみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
7L+5mで任意の整数なのはわかったのですが、それ以降がいまひとつわかりませんでした。もう一度考えてみたいと思います。

回答No.1

age_momo

L=3,m=-4のとき

14L+10m=14*3-10*4=2

です。なのでどのような2nに対しても

2n=(14*3-10*4)n=14*(3n)+10*(-4n)

L=3n,m=-4nのときに等しくなります。
つまりAも全偶数の集合です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かにL=3,m=-4のときは成立しそうですが・・・
すべての任意のLMで成立するのか納得できません。

また、きっと任意の数字でも成立することの証明なのかもしれませんが、
＞2n=(14*3-10*4)n=14*(3n)+10*(-4n)
の式がなにを意味しているのかわかりません・・・すみません。