• ベストアンサー
  • 困ってます

群論なのですが

群論なのですが Gを有限群としGの元をgとする。このとき、gの位数はGの位数の約数であることを証明せよ という問題の解法がわかりません、わかる方いましたらよろしくお願いします

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

元 g の位数ってのは、g^n が単位元になる最小の自然数 n のことだにょん。 g が生成する G の部分群は巡回群になるので、その位数は g の位数に等しいが、 ラグランジュの定理より、部分群の位数は G の位数の約数である。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

なるほど^ω^ 納得しました! 本当にありがとうございます<(_ _)>

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

>Gを有限群としGの元をgとする。 ?? Gを有限群としGの部分群をgとする。 の間違い?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

問題は合っています わざわざご指摘ありがとうございます<(_ _)>

関連するQ&A

  • 群論の基礎で・・・

    今群論を勉強しているのですが、勉強を進めていてわからないところがいくつかあって困っています。どなたか教えていただけると嬉しいです。 (1)「Gを有限群、Hをその部分群、とする時 Gの元の位数、は、Gの位数、の約数である。」 と、あったのですが、これは何故でしょうか。。 (2)「写像fを、R(実数)-{0} → C(複素数)-{0}          θ     →   exp(2πiθ) で定めるとき、これは準同型写像」 とあったのですが、準同型の定義に従って、R-{0}の2つの元としてθ,ψをとってきて、f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成立することを確認しようとすると、(左辺)=exp(2πiθψ)、(右辺)=exp(2πiθ)・exp(2πiψ)=exp(2πi(θ+ψ))となり、この2つが等しいとは思えません。 f(θψ)=f(θ)f(ψ)が成り立つためには、R-{0}内での演算は+(足し算)で、C-{0}内での演算は×(掛け算)、というふうに演算が定められている、と、考えるのかな?と思ったのですが、違う演算が定義された群同士を結ぶ写像が準同型になる、というのは許されるのですか? 長くてわかりにくい文章になってしまいすみません。 よろしくお願いいたします。

  • 群論

    G:位数有限=nの可換群 n=p1^α1*p2^α2*p3^α3・・・ps^αs piは素数 G=P1×P2×P3×・・Ps Piは位数がpi^αiなる群とできる。 fi=pi^αiとする G(fi)={a^fi|a∈G}とおくと PiはG(fi)に等しいからとあるのですが、その理由がわかりません。教えてください。 大島勝(共立全書昭和43年) 群論p85

  • 群論

    『群Gの位数は,ある部分群Hの正規化群N(H)の位数と,その部分群の共役類の位数(位数をc(H)とする) (その部分群に共役な部分群が何個あるか)の積に等しい』という |G|=|N(H)|*|C(H)|の証明はどう考えていけばいいのでしょうか。

  • 有限位数の元の積

    ふと疑問に思ったのですが、群において有限位数の元の積もまた有限になるのでしょうか。 つまり、Gを群、a,bを位数が有限のGの元とする時、abの位数も有限になるのでしょうか。 問題は単純なのですが、単純であるがゆえ証明が難しそうです。反例も思い付きません。 どなたかよいお考えがあれば教えていただきたいです。

  • G,G'を有限群とし,ψ:G→G'を準同型とするとき

    G,G'を有限群とし,ψ:G→G'を準同型とするとき Im ψの位数がG,G'の位数の約数となることを証明せよ. また,G,G'の位数が互いに素なとき,GからG'への準同型写像をすべて求めよ. という問題なのですが,Im ψがG'の部分群であり,ラグランジュの定理より Im ψの位数がG'の位数となることはわかるのですが,他がわかりませんどなたか解説お願いします.

  • x^2 ≡ 1 mod n

    nが素数で nを法とする既約剰余群(Z/nZ)*において 位数が2の元は-1だけであることを示したいのですが、 x^2 ≡ 1 mod n ⇒ (x-1)(x+1) ≡ 0 mod n ⇒ x = ±1 ではダメでしょうか。 ある本だと 以下の定理を使っています。 「Gを有限巡回群とする。|G|の任意の約数dに対して位数dのGの部分群が唯一つ存在する。」 この定理より nの既約剰余群において、位数2の元は-1のみ。 しかし、この定理の証明が私にとって難解で、まったく理解できません。 結局、位数2の元が-1だけであることを言いたいので x^2 ≡ 1 mod nを 上記のように解けば説明になっているのでは?と思いました。 x^2 ≡ 1 mod n を解くだけで説明になっているでしょうか? アドバイスお願いします。 また、もしできたら 「Gが有限巡回群のとき… |G|の任意の…」 の定理の証明をわかりやすく説明していただけないでしょうか。

  • 対称群、交代群。

    群論の課題が出たのですが、よくわかりません。 アドバイスお願いします。 (1)4次の交代群A_4の位数4の可換部分群Kを答えよ。 (2)対称群S_4の部分群Hで(1)のKを含み、 位数8の2面体群と同型な群を答えよ。 (1)で部分群の位数は、4の約数だから、1,2,4の どれかであることは、わかるのですが、それからが わかりません。あと、A_4に位数4の元は、存在しない といわれたのですが、なぜですか? (2)は、どうやって同型な群を見つければよいのですか?  よろしくお願いします。

  • 既約剰余類群の部分群について

    群論の問題です。 大学のレポート課題ですが、途中までしかわからず困っているため、お時間のある方ご回答よろしくお願いいたします。 問 既約剰余類群(z/7z)^*の部分群を全て求めよ。 答 部分群の位数は群の位数の約数なので、1,2,3,6のどれかである。 ここまでしかわかりません、、

  • Hを有限群Gの部分群・・・Nの位数lNlと指数

    Hを有限群Gの部分群、NをGの正規部分群とする。 Nの位数lNlと指数(G:N)とが互いに素、lHlがlNlの約数とする。 このときH(Nであることを証明せよ。 まったくわかりません。 ヒントでもいいのでよろしくお願いします!

  • 群論の問題です。

    群論の問題です。 整数全体がなす加法群Zに対して、G=Z×Z={ ( a,b ) |a,b ∈ Z } とおき これを成分ごとの加法 ( a , b )+( a' , b' )=( a+a' , b+b' ) により群と見なす。 2元 x = ( 2 , 4 ) , y = ( 6 , 8 )により生成される群Gの部分群Hとし、 写像 φ : G → H を φ(( a , b )) = ( 2a + 6b , 4a + 8b) = ax + by により定義する。ことのきつぎの問いに答えよ。 (1)φは群の同型写像であることを示す。 (2)φによるHの像 K= φ (H) = { φ ( h ) | h ∈ H } はGの部分群であることを示す。 (3)GのKによる剰余群 G / H に対して群の同型 G / H ≅ Z / mZ × Z / nZ がなりたつような自然数 m , n で m が n の約数となるものを求める。 (1)、(2)は示すことができたのですが、 (3)の考え方がよくわかりません。 できるだけわかりやすく教えていただけるとうれしいです… よろしくお願いします。