• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

群論です

Gを群、Hをその指数有限な部分群とする。Hに含まれるGの指数有限な正規部分群Nが存在することを示せ。  全く分かりません。どなたか教えてください。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4
  • OurSQL
  • ベストアンサー率40% (53/131)

質問したのだから、少しは回答に反応してください。 それに、No.2 で「H から帰納される部分群をいろいろ考える」という、いいヒントを与えてもらっているじゃないですか。 H に含まれる正規部分群として、最低2つは知っている必要があります。 1つは既に登場した { 1 } で、もう1つは H に含まれる最大の正規部分群です。 後者がこの問題の正解、つまり、求めるべき正規部分群 N になります。 この N の正体についてですが、H と共役な G の部分群たちを使って表現できます。 で、 ( 1 ) H と共役な G の部分群の1つを K とするとき、K は適当な g ∈ G と H を用いてどう表せますか。 ( 2 ) H 自身は、H と共役な G の部分群といえますか。 ( 3 ) K を H と共役な G の部分群とするとき、H ∩ K は G の部分群になりますか。 まずは、上の3つあたりから考えてみて下さい。 Good luck!

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (4)

  • 回答No.5
  • OurSQL
  • ベストアンサー率40% (53/131)

訂正 > H に含まれる正規部分群として、最低2つは知っている必要があります。 H に含まれる G の正規部分群として、最低2つは知っている必要があります。 > 1つは既に登場した { 1 } で、もう1つは H に含まれる最大の正規部分群です。 1つは既に登場した { 1 } で、もう1つは H に含まれる G の正規部分群のうちで最大のものです。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.3
  • OurSQL
  • ベストアンサー率40% (53/131)

N = { 1 } が例になっていれば、簡単に証明できていいですね。 でも、N = { 1 } では、x, y ∈ G に対して x の逆元と y の積が N の元になるとき、x = y になってしまいますね。 よって、G が有限群なら、N の指数は G の位数に等しくなって問題ない。 だけど、この問題では G が有限集合だとはどこにも書かれていないようです。 質問者様は、どの程度まで理解できているのですか。 指数と位数の区別くらいは、きちんと分かっているのでしょうか。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

いやいや、指数有限な正規部分群が欲しいんじゃろ。 まずは H から帰納される部分群をいろいろ考えるんじゃ。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

実例: N = { 1 } 部分群 H は、常に単位元を含む。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 群論

    『群Gの位数は,ある部分群Hの正規化群N(H)の位数と,その部分群の共役類の位数(位数をc(H)とする) (その部分群に共役な部分群が何個あるか)の積に等しい』という |G|=|N(H)|*|C(H)|の証明はどう考えていけばいいのでしょうか。

  • 群論について(部分群)

    群Gが正規部分群Nと、部分群Hを持つとします。 このとき、HNはGの部分群となり、NはHNの正規部分群になるみたいなのですが、これは何故なのでしょうか? よろしくお願います。

  • 群論の問題です

    (1)G, G′ を群,H を G の正規部分群とする.f : G → G′ が準同型写像のとき f(H)は G′ の正規部分群か否か? 正規部分群ならば証明し,そうでないならば反例をあげよ. (2) n を正整数とするとき,Aut(Z/nZ) ≅ (Z/nZ)^x を示せ. この二問がわかりません。教えていただければ幸いです。

  • Hを有限群Gの部分群・・・Nの位数lNlと指数

    Hを有限群Gの部分群、NをGの正規部分群とする。 Nの位数lNlと指数(G:N)とが互いに素、lHlがlNlの約数とする。 このときH(Nであることを証明せよ。 まったくわかりません。 ヒントでもいいのでよろしくお願いします!

  • 群論

    定理:有限冪零群GのΦー部分群(Frattini部分群)はGの交換子を含む (証明)Gの極大部分群をG*とすればG*は正規で、かつ(G:G*)は素数である。故にーー と続く中で「(G:G*)は素数である」というのはどうしてでしょうか。わかりやすく説明ください。

  • 群論の問題について

    Gを群とし、H,Kをその部分群とする。 1、|G:H|が有限ならば |K:H∩K|≦|G:H| が成り立つことを示せ 2、K⊂H⊂Gとする。 |G:H|、|H:K|が有限ならば、 |G:K|=|G:H||H:K| が成り立つことを示せ。 -------------------------- お願いします!

  • 群論「可解群」について

    Gを群とする. 「Gの正規部分群Nに対し,NとG/Nがともに可解群ならば,Gもまた可解群である.」 この証明なのですが,途中がわかりません. (∵) G/Nは可解群だから,G/Nの正規列 G/N=G_0/N⊃G_1/N⊃…⊃G_m/N=N/N であって,同型定理より,商群 (G_(i-1)/N)/(G_i/N)≒G_(i-1)/Gi (≒は同型の記号としてください) がアーベル群となるものが存在する. このとき「G_iはG_(i-1)の正規部分群」であることに注意する.…(?) また,Nが可解群だから,Nの正規列 N=G_m⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e} であって,商群 G_(j-1)/G_j がアーベル群となるものが存在する.このとき, G=G_0⊃G_1⊃…⊃G_m=N⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e} はGの正規列であって,その商群はアーベル群よりなる. よってGは可解群である. Q.E.D とあったのですが,途中の(?)の部分がわかりません. なぜ「G_iはG_(i-1)の正規部分群」となるのでしょうか? 詳しい方お願いします.

  • 群論の指数に関する定理

    Hをアーベル群Gの部分群、f:G→G’を群の準同型とする。この時、指数[f(G):f(H)]と[ker(f):ker(f)∧H] はともに有限である。さらに[f(G):f(H)]=[G:H]/[ker(f):ker(f)∧H]が成り立つ。 どなたか証明をお願いします。僕は高校数学と群論の基礎的な知識しか背景として持っていないです・・・特にker(f):ker(f)∧Hあたりが出てこないです。ぼくがやったら[f(G):f(H)]=[G:H]/[ker(f)]が成り立つ。となってしまいました

  • 正規部分群

    NをGの部分群、GにおけるNの指数が2であるときNは正規部分群であることを示せ。 これはどうやって導けばよいでしょうか?

  • 群論の証明

    xy平面における合同変換群O2(R)をGとし、回転部分群Rot(V2(R))をHとする。 また、x軸に関する対称変換をfとする。このとき、G=H∨fHとなることを証明せよ。 とあるのですが証明できません。 ここまで調べてきたことは、 xy平面の回転群Rot(V2(R))は直交変換群O2の正規部分群であること。 正三角形の合同変換群<(12)、(13)>において、回転変換からなる部分群<(123)>は正規部分群であること。 です。 これらをうまく利用して解くのだとは思いますが、いざ文章で表記した時にどう書けばいいかわからないのが現状です。 最悪アドバイスだけでもかまいません。 どうかよろしくお願いします。