群論です

質問

Gを群、Hをその指数有限な部分群とする。Hに含まれるGの指数有限な正規部分群Nが存在することを示せ。
　全く分かりません。どなたか教えてください。

回答No.4

OurSQL · ベストアンサー

質問したのだから、少しは回答に反応してください。
それに、No.2 で「H から帰納される部分群をいろいろ考える」という、いいヒントを与えてもらっているじゃないですか。

H に含まれる正規部分群として、最低2つは知っている必要があります。
1つは既に登場した { 1 } で、もう1つは H に含まれる最大の正規部分群です。
後者がこの問題の正解、つまり、求めるべき正規部分群 N になります。
この N の正体についてですが、H と共役な G の部分群たちを使って表現できます。

で、

( 1 ) H と共役な G の部分群の1つを K とするとき、K は適当な g ∈ G と H を用いてどう表せますか。
( 2 ) H 自身は、H と共役な G の部分群といえますか。
( 3 ) K を H と共役な G の部分群とするとき、H ∩ K は G の部分群になりますか。

まずは、上の3つあたりから考えてみて下さい。
Good luck!

回答No.5

OurSQL

訂正

> H に含まれる正規部分群として、最低2つは知っている必要があります。
H に含まれる G の正規部分群として、最低2つは知っている必要があります。

> 1つは既に登場した { 1 } で、もう1つは H に含まれる最大の正規部分群です。
1つは既に登場した { 1 } で、もう1つは H に含まれる G の正規部分群のうちで最大のものです。

回答No.3

OurSQL

N = { 1 } が例になっていれば、簡単に証明できていいですね。
でも、N = { 1 } では、x, y ∈ G に対して x の逆元と y の積が N の元になるとき、x = y になってしまいますね。
よって、G が有限群なら、N の指数は G の位数に等しくなって問題ない。
だけど、この問題では G が有限集合だとはどこにも書かれていないようです。

質問者様は、どの程度まで理解できているのですか。
指数と位数の区別くらいは、きちんと分かっているのでしょうか。

回答No.2

koko_u_u

いやいや、指数有限な正規部分群が欲しいんじゃろ。
まずは H から帰納される部分群をいろいろ考えるんじゃ。

回答No.1

alice_44

実例： N = { 1 } 部分群 H は、常に単位元を含む。