群論の証明

質問

xy平面における合同変換群Ｏ２（Ｒ）をＧとし、回転部分群Ｒｏｔ（Ｖ２（Ｒ））をＨとする。
また、ｘ軸に関する対称変換をｆとする。このとき、Ｇ＝Ｈ∨ｆＨとなることを証明せよ。

とあるのですが証明できません。

ここまで調べてきたことは、
ｘｙ平面の回転群Rot（Ｖ２（Ｒ））は直交変換群Ｏ２の正規部分群であること。
正三角形の合同変換群＜（１２）、（１３）＞において、回転変換からなる部分群＜（１２３）＞は正規部分群であること。

です。

これらをうまく利用して解くのだとは思いますが、いざ文章で表記した時にどう書けばいいかわからないのが現状です。

最悪アドバイスだけでもかまいません。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

2点間の距離を変えない点変換を合同変換という。
これは平行移動、回転および対称移動、またはその組み合わせとなる。
平行移動変換は
回転および対称移動、またはその組み合わせで表すことができないと思う.

g:R^2→R^2,合同変換
(b_1,b_2)=g(0,0)
(0,0)=g(c_1,c_2)
(1,0)=g(a{11}+c_1,a{12}+c_2)
(0,1)=g(a{21}+c_1,a{22}+c_2)
(y_1,y_2)=g(x_1,x_2)
とすると
a{11}^2+a{12}^2=1
a{21}^2+a{22}^2=1
(y_1)^2+(y_2)^2=(x_1-c_1)^2+(x_2-c_2)^2
((y_1)-1)^2+(y_2)^2=(x_1-c_1-a{11})^2+(x_2-c_2-a{12})^2
(y_1)^2+((y_2)-1)^2=(x_1-c_1-a{21})^2+(x_2-c_2-a{22})^2
↓
y_1=a{11}x_1+a{12}x_2-a{11}c_1-a{12}c_2
y_2=a{21}x_1+a{22}x_2-a{21}c_1-a{22}c_2
y_1=a{11}x_1+a{12}x_2+b_1
y_2=a{21}x_1+a{22}x_2+b_2
(y_1)=(a{11},a{12})(x_1)+(b_1)
(y_2).(a{21},a{22})(x_2)+(b_2)
(a{11}x_1+a{12}x_2)^2+(a{21}x_1+a{22}x_2)^2=(x_1)^2+(x_2)^2
a{11}a{12}+a{21}a{22}=0
g(1,0)-g(0,0)=(a{11},a{21})
a{11}^2+a{21}^2=1
g(0,1)-g(0,0)=(a{12},a{22})
a{12}^2+a{22}^2=1
a{12}^2=a{21}^2
a{11}^2=a{22}^2
a{11}=cost,a{12}=-sintのときa{21}a{22}=-a{11}a{12}=costsint
a{21}=sintのときa{22}=cost
a{21}=-sintのときa{22}=-cost

H=
(cost,-sint)
(sint,cost)
f=
(1, 0)
(0,-1)
x=t(x_1,x_2),b=t(b_1,b_2)
とすると
合同変換gは
g(x)=(f^n)Hx+b ,(n=0又はn=1)
と表される