- ベストアンサー
群論の問題です。
Ｇを群とする。 Ｈ⊂Ｇ Ｈ・Ｈ⊂Ｈ｜Ｈ｜＜∞のときＨがＧの部分群であることを示せ。 という問題なんですけど、 ∀ｈ∊Ｈ⇒ｈ＾（-1）∈Ｈということが示せなくて困っています。どうか教えてください。
- hatfield3505
- お礼率10% (4/37)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
h^nはH*H⊂Hの元で有限個だから h^k=h^lとなるk,l,k>lが存在して h^(k-l)=1となる
関連するQ&A
- 群論の問題です。
群論の問題です。 整数全体がなす加法群Zに対して、G＝Z×Z＝{ ( a,b ) ｜a,b ∈ Z } とおき これを成分ごとの加法 ( a , b )＋( a' , b' )＝( a＋a' , b＋b' ) により群と見なす。 ２元 x = ( 2 , 4 ) , y = ( 6 , 8 )により生成される群Gの部分群Hとし、 写像 φ : G → H を φ(( a , b )) = ( 2a ＋ 6b , 4a ＋ 8b) = ax ＋ by により定義する。ことのきつぎの問いに答えよ。 (１)φは群の同型写像であることを示す。 (２)φによるHの像 K＝ φ (H) ＝ { φ ( h ) | h ∈ H } はGの部分群であることを示す。 (３)GのKによる剰余群 G / H に対して群の同型 G / H ≅ Z / mZ × Z / nZ がなりたつような自然数 m , n で m が n の約数となるものを求める。 (１)、(２)は示すことができたのですが、 (３)の考え方がよくわかりません。 できるだけわかりやすく教えていただけるとうれしいです… よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 群論の交換子群について
（問題） Gを群,HをGの部分群とする.また,[G,G]をGの交換子群とするとき, [G,G]⊂H⇔H\GかつG/Hがアーベル群 となることを示せ. ここで,H\GはHがGの正規部分群であることを表し（記号が環境依存文字だったので\で代用させていただきました）,G/HはHによる商群とする. （質問） この証明なのですが,H\Gは証明できました,しかし,G/Hがアーベル群であることが示せません. 手持ちの参考書には,任意のGの元a,bに対して, {a^(-1)b^(-1)ab}H=H・・・(1) であるから, (aH)(bH)=abH=ba{a^(-1)b^(-1)ab}H=baH=(bH)(aH) よって,G/Hはアーベル群である. とあるのですが,(1)が示せません. (1)が示せれば後は簡単なのですが,ここが理解できないので困っています. a^(-1)およびb^(-1)はそれぞれa,bの逆元です. どなたか群論に詳しい方よろしくお願いします.
- 締切済み
- 数学・算数
- 群論について（部分群）
群Gが正規部分群Nと、部分群Hを持つとします。 このとき、HNはGの部分群となり、NはHNの正規部分群になるみたいなのですが、これは何故なのでしょうか？ よろしくお願います。
- 締切済み
- 数学・算数
