群論

質問

定理：有限冪零群ＧのΦー部分群(Frattini部分群）はＧの交換子を含む
（証明）Ｇの極大部分群をＧ*とすればＧ*は正規で、かつ（Ｇ：Ｇ*）は素数である。故にーー
と続く中で「（Ｇ：Ｇ*）は素数である」というのはどうしてでしょうか。わかりやすく説明ください。

回答No.1

kt1965

普段の記法とは全然違うので、困っているのですが・・・。
（G:G*）は別に素数でなくても良かったりします。偶数でも、奇数でも、はたまた複素数でも・・・。その後の証明論を展開する上で大変なので、素数に限定しているような証明の気がします。

実際には、可換性を持つ群において、その中における部分群は必ず元群の性質を持つというような証明をしていかないと、その証明は定理になりえないのですが・・。まあ、Wikipediaあたりの証明だと、そこまでやっていないようですね。

お礼

時間が経過したらすべて忘れました。
回答どうもありがとう。

補足

（G:G*）はＧの位数割るG*の位数の意味です。
素数になるはずです。
それがどうしてという質問です。
よろしく