1問でもいいので分かる方解答お願いします

質問

代数学の質問です
(1)ユークリッド空間R^n(n≧1）の合同変換群Ｈにおいて、平行移動の全体の作る部分群Ｎは、Ｎ◅Ｈを満たすことを証明せよ。

さらに、Ｈ/ＮはO(n,R)に同型なことを証明せよ

(2)n≧２を整数とする。ユークリッド空間R^nの合同変換群をＧであらわす。
１．ＧのR^nへの作用は可移であるか？理由もつけて答えよ。
２．R^nの原点ＯにおけるＧの安定部分群を求めよ

(3)Ｋを体とする Ｋｊｏｕｎｏ 有限次元ベクトル空間Ｖ、その部分空間Ｗについて
dim_k(V/W)=dim_k(V)-dim_k(W)を証明せよ

回答No.1

muturajcp

(1)
f∈H
合同変換fは全射で
{x,y}⊂R^n→|f(x)-f(y)|=|x-y|
だから
{x,y}⊂R^n,f(x)=f(y)→|x-y|=|f(x)-f(y)|=0→x=y
→fは単射→fは全単射→逆写像f^{-1}がある
f(0)=b=(b_i)_{i=1～n}
c=(c_j)_{j=1～n}=f^{-1}(0)
δ_{ii}=1,i≠j→δ_{ij}=0
E=((δ_{ij})_{j=1～n})_{j=1～n}=(単位行列)
δ_i=(δ_{ij})_{j=1～n}
f^{-1}(δ_i)-f^{-1}(0)=a_i=(a_{ij})_{j=1～n}
A=(a_i)_{i=1～n}=((a_{ij})_{j=1～n})_{i=1～n}
x=(x_j)_{j=1～n}
y=f(x)=(y_j)_{j=1～n}
とすると
|a_i|^2=Σ_{j=1～n}a_{ij}^2=1
Σ_{j=1～n}(y_j)^2=|y|^2=|x-c|^2=Σ_{j=1～n}(x_j-c_j)^2
Σ_{j=1～n}(y_j-δ_{ij})^2=|y-δ_i|^2=|x-c-a_i|^2=Σ_{j=1～n}(x_j-c_j-a_{ij})^2
y_i=Σ_{j=1～n}(x_j+c_j)a_{ij}
(b_i)_{i=1～n}=b=f(0)=(Σ_{j=1～n}c_ja_{ij})_{i=1～n}
y_i=(Σ_{j=1～n}x_ja_{ij})+b_i
↓
f(x)=y=Ax+b
となる
fは全単射だからf-bも全単射で
Aの逆行列A^{-1}が存在するから
f^{-1}(y)=A^{-1}y-A^{-1}b
となる
g∈Nに対して
x∈R^n→g(x)=x+c
となるcがあるから
(f^{-1}gf)(x)
=f^{-1}(g(f(x)))
=A^{-1}(Ax+b+c)-A^{-1}b
=x+A^{-1}c
↓
f^{-1}gf∈N
↓
fN=Nf
↓
NはHの正規部分群

h:O(n,R)→H/N,h(f)=fN とすると
f,g∈O(n,R),h(f)=h(g)→fN=gN→g^{-1}f∈N
→
f(x)=Ax,g(x)=Cx→g^{-1}(f(x))=C^{-1}Ax=x+e=x→A=C
→f=g→h単射
fN∈H/N→f(x)=Ax+b,A∈O(n,R),b∈R^n
A^{-1}f(x)=x+A^{-1}b→A^{-1}f∈N→fN=AN=h(A)→h全射→h全単射
h(f+g)=(f+g)N=fN+gN=h(f)+h(g)→h準同型→h同型
(2)
1
任意のa,b∈R^nに対して
f:R^n→R^n,f(x)=x+b-a
とすると,f(a)=b
fは平行移動合同変換だから　f∈G
だから,(G,R^n)は可遷
2.
原点を動かさない変換群というのであれば、それは
直交変換群　O(n,R)
(3)
W⊂V
だから
dimW≦dimV
dimV=n
dimW=m
Vの基底を{v_i}_{i=1～n}⊂V
{v_i}_{i=1～m}がWの基底になるように
{v_i}_{i=1～n}を並べ替えると
{v_i}_{i=m+1～n}⊂V-W
xW∈V/Wとすると
x=Σ{i=1～n}x_iv_iとなる(x_i)_{i=1～n}⊂Kがある
x-Σ{i=m+1～n}x_iv_i=Σ{i=1～m}x_iv_i∈W
xW=Σ{i=m+1～n}x_iv_iWとなる。
Σ{i=m+1～n}x_iv_iW=0とすると
→Σ{i=m+1～n}x_iv_i∈W
→(x_i)_{i=m+1～n}=0
→{v_iW}_{i=m+1～n}は一次独立だから
∴
dim(V/W)=n-m=dim(V)-dim(W)