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GL(n,F_p)の巡回部分群
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まず、F_pはp進体ではなく、位数pの有限体のことですね。 p進体は有理数体をp進附値で完備化したものの商体ですから、GLの位数が有限になりません。 さて、有限体には位数が素数pのもの以外に位数がq=p^n のものがあるのはご存知でしょうか。F_qと表すことにします。 F_qの乗法群は位数q-1=p^n-1の巡回群です。 F_qはF_p加群としてみるとF_p上のn次元ベクトル空間と同型になります。 次に、F_qの元aをfixします。F_qの元xに対してf(x)=axという変換はF_p上のベクトル空間としてみると線形変換になり、fはGL(n,F_p)の元となります。 aがF_qの乗法群の生成元のときにはfの位数はp^n-1となります。 こんなところでどうでしょうか。
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- mickel131
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No.4の回答で間違ってチェックしていました。 自信あり、なんてとんでもないです。 念のため。 それだけです。すみません。 ---------------------------------- それからもし、回答がわかったら、ぜひこの場に書いてくださいね。 見ています。
- mickel131
- ベストアンサー率36% (36/98)
準同型定理というのがありましたでしょう? あれを使うのじゃ、ありませんか? という私、本当はもうすっかり忘れてしまって、お答えする立場にはありません。 巡回部分群で割って、類別してできる、何だったかなあ? そこからの単射とか全射とか・・・ それをうまく与えれば、F_p上のn次一般線型群GL(n,F_p)への全単射が存在して、準同型定理が適用できて一挙解決!なんてね。 酔っ払いのたわ言です。ご勘弁ください。何かの役に立てればいいのですけど・・・。 でしゃばってすみませんでした。
- keyguy
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用語の使い方を間違えました Gを要素数がn(自然数)の体とすると G≡{0,1,x,x^2,x^3,・・・,x^(n-2)} となるxが存在する は簡単に証明できると思いますが趣旨が違うかもしれません
補足
体の乗法群の有限部分群はいつでも巡回群という命題ですね。一般線型群GL(n,F_p)というのはF_p上のn次正方行列で、行列式が0(正確にはmod pで0)にならないもの全体です。簡単な計算で群をなすことがわかります。また位数は P^{n(n-1)/2}(p^n-1)(p^{n-1}-1)……(p-1) になります。とりあえずGL(n,F_p)は体ではないです。
- keyguy
- ベストアンサー率28% (135/469)
Gを位数がn(自然数)の体とすると G≡{0,1,x,x^2,x^3,・・・,x^(n-2)} となるxが存在する は簡単に証明できると思いますが趣旨が違うかもしれません
- keyguy
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GL(n,F_p)は有限体ですか? n次一般線型群とはなんでしょうか?
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