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準同型写像について
「GL(n,R)で実数係数のn次正則行列のなす群とする。また、R*で０を除く実数全体に乗法で積を定義した群とする。AをGL(n,R)に含まれるものに対して、行列式detAを対応させる写像det:GL(n,R)→R*は群の全射準同型写像であることを確かめよ。また、その核はどのような部分群となるか？？」 という問題について、手がつけられません＞＜ アドバイスお願いします＞＜
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- ojisan7
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ご自分で、どの程度考えましたか？ 準同型であることは、積の行列の行列式の性質から明らかですね。全射であることは、任意の実数aが行列式の値となる行列Ａ∈GL(n,R)を見つければよいのです。核は行列式が１となる行列ですね。これは、群をなし、特殊線形群としてよく知られた群ですよね。
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- zk43
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表現の違いだけであり、detの性質から分かります。 まず、GL(n,R)に含まれる行列の行列式detAは、Aを変えることによっ て、0以外のどんな実数値も取り得るということは良いでしょう。 例えば、任意の実数x≠0に対しては、行列Aとして、 x 0 0 1 を考えればよい。 これで、detは全射であることが分かります。 また、detAB＝detA×detBという行列式の性質から、detが準同型写像 であることも良いでしょう。 （f：G→G’が準同型写像であるとは、任意のx,y∈Gに対して f(xy)=f(x)f(y)を満たすこと。fをdetと考える。） また、核とはdetA＝1となる行列全体の集合ですが、これはn次特殊 線形群SL(n,R)となります。 （これが群をなすことは容易に確認できると思います。） 記号で書くならば、Kerdet＝SL(n,R) これから準同型定理により、GL(n,R)/SL(n,R)とR*は群として同型とな ります。つまりGL(n,R)の行列にSL(n,R)の行列を掛けても行列式は変わ らないということです。
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