逆写像の条件について

質問

集合Uから集合Vへの写像fが全単射なら
逆写像f^{-1}が存在し、f^{-1}は全域写像になりますが、
f^{-1}の逆対応はfなので、f^{-1}は全単射で、
fは全域写像になるのでしょうか？
また、集合Uから集合Vへの部分写像fが逆写像をとる条件を単射とした場合は
合成写像f◦f^{-1}がUの恒等写像にならないですよね？

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

自分も後半は良くわかりませんでしたが、基本に戻りましょう。

［定義-1］
　集合Ｘ，Ｙがあり、各x∈Ａ⊂Ｘ（Ａ≠ＸでもOK）に対して、一つとは限らないy∈Ｙが対応するとき、これを単にＸとＹの間の対応（相関）と言う。ここで対応をfと書けば、各x∈Ａ⊂Ｘに対応するy＝f(x)∈Ｙ（yはxについて一つとは限らない）を全部集めても、Ｙになるとは限らない。これのグラフは、一般には帯になります。

　またＸを対応fの始域，Ａ⊂Ｘをfの定義域，Ｙを終域という用語もあります。

［定義-2］
　集合Ｘ，Ｙがあり、対応fの定義域Ａ⊂Ｘが終域Ｘに等しく（Ａ＝Ｘ）、定義域Ｘの各x∈Ｘでy＝f(x)∈Ｙが、そのxについて一つだけの時（yはxについて唯一）、これを写像（関数）と言い、f：Ｘ→Ｙと表す。
　この場合も、y＝f(x)∈Ｙをxについて全部集めてもＹになるとは限りませんが、これのグラフは曲線になります。そしてこの時、終域Ｙの事を、慣習上は値域と言います。

　という訳で、逆対応が写像になる条件は、明らかに対応fが全単射の場合です。対応fが全単射なら、それは明らかに［定義-2］を満たし、それは写像です。またfが全単射なら、ＸとＹをひっくり返せるので、逆写像f^(-1)も存在し、全単射です。

　後半に対しては予想ですが、こういう定義と定理があります。写像f：Ｘ→Ｙがあったとして、Ｘ上（Ｙ上）の恒等写像をIdX（IdY）で表します。〇は合成写像を意味します。

[定義-3]
　s：Ｙ→Ｘとして、s〇f＝IdXとなるとき、sをfの左逆写像（引込またはPullback）と言う。

[定義-4]
　r：Ｙ→Ｘとして、f〇r＝IdYとなるとき、rをfの右逆写像（押出またはPushout）と言う。

［定理-1］
　fが左逆写像sを持てば、fは単射。

［定理-2］
　fが右逆写像rを持てば、fは全射。

　［定理-1，2］の証明は、図を描いて［定義-3，4］に従えば、じつは自明（一瞬）です。

　こんなところで、どうでしょうか？^^

お礼

回答有り難うございます。
［定義-2］の
>この場合も、y＝f(x)∈Ｙをxについて全部集めてもＹになるとは限りませんが、これのグラフは曲線になります。そしてこの時、終域Ｙの事を、慣習上は値域と言います。
がよくわかりません。
y＝f(x)∈Ｙをxについて全部集めたものを集合BとするとB⊂Ｙとなり、この場合Bを値域、Yを終域とよんで区別するのが一般的だと思います。そして、B=Yならば全射であることと同じです。

回答No.3

noname#221368

＞y＝f(x)∈Ｙをxについて全部集めたものを集合BとするとB⊂Ｙとなり、この場合Bを値域、Yを終域とよんで区別するのが一般的だと思います。

　用語の問題に過ぎないとは思いますが、自分の知ってる用語は多少古いのかも知れません。自分はＢの事を、fの像と呼びます。写像においてもＹを終域と呼んでよいのは知っていますが（対応の特殊ケースなので）、自分はＹを値域と呼びます。

＞そして、B=Yならば全射であることと同じです。

　そうだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

前半はたぶん「全域写像」の定義を書いてためつすがめつ見ればわかるんじゃなかろうか.
後半は何をいいたいのかよくわからん.