数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.44

stomachman

ANo.41へのコメントについてです。

> お互いのすれ違いは、高校数学の表記の習慣が関わっているのかなあと思うようになりました。

　「実数（複素数）の範囲で」というような但し書きが付いていれば、習慣的な書き方はそれなりに妥当なものだと思います。「1/0は、少なくとも複素数の範囲には存在しない」は真ですもんね。心ある出題者は、こういう但し書きを（たとえ大抵の生徒がその意味を深く考えたりしないとしても）疎かにはしないと思いますよ。言ってみれば矜持の問題でしょう。
　A⇔B⇔Cはひどく気持ち悪いですが、その記法について予め説明があるのなら（たとえば論理式の場合には括弧を省略しないで(A⇔B)⇔Cと書くよ、という(ad hocながら)決まりにしておくなら）受容できるでしょう。

> なので、論理式においても、分数式があるとそれだけで分母≠0を補って読むのが習慣、と僕は解釈します。

　（定義が書けない概念は使えないのと同じように、）習慣的な書き方を使うには、いつでも論理式による正書法に戻せる、という裏付けがなくてはならない。そして、習慣的な書き方をしたために本来の意味を見失ってしまうような時にこそ、論理式が切れ味を発揮すると思っています。(だから、迷子の質問者に対するstomachmanの回答にはちょいちょい論理式が現れるんです。）なのに、その論理式の中にまで習慣だの略記法だのを持ち込んだら、切れ味が鈍る。「いちいち意味など考えずに、全く機械的に操作できる」ということこそが切れ味の由来なのですから。
　標語的に言うなら「∀x∈R, P(x)なんて書くぐらいなら論理式書くな」かな？　項の順番に意味を持たせてみたり、implicationとその対偶とを別の読み方で読んだりするのも、誤りや混乱の誘因じゃないかと思います。

> 高校生は、「(x-1)/x」だけを見ると、それは具体的な値が定まる関数として、それだけでx≠0が前提と読みます。

　　J = ∫[x=-π～π] (x-1)/x dx
と書いてあってもx≠0が前提と読むんですかね？それともこういうのは『「(x-1)/x」だけ』とは区別する？…ううむむむ。
　実はstomachmanの本体は、中学生または高校生だったことがあるんですが、当時「(x-1)/x」だけを見たとしたら、「x=0のときには値が定まらない関数」と読んでいただろうと思います。少なくとも、「それだけでx≠0が前提」と読むような（出題者への）サービス精神はありませんでした。なぜなら、もし自分が導いた式が「(x-1)/x」だった場合、「それだけでx≠0が前提だから、いちいちx≠0かどうかなんて書かなくてもいいや」などと甘い事を期待していたら、でっかい×を貰う羽目になるに違いなかったからです。
　さて、あるとき不完全性定理というものを知って形式主義（という実に高校生受けしない名称を持つ分野）に興味を持ち、（また、同級生たちがなぜかあまり遊んでくれなくなったのもあって、）数学基礎論を自習したんです。そしたら、小学校以来の様々なモヤモヤがどっさり解消した。「コマカイ事を妙に念押しするな」と思っていたけど、なるほどそういう事情だったのか、というようなことが分かった訳です。（いや、ε記号の間違いをやらかすところを見ると、当時の知識はかなり錆び付いているようではありますが。）
　なので、モヤモヤが生じたら（略記や習慣を捨てて）基礎から見直そうよ、というのがとりあえずの方針なんです。

お礼

ありがとうございます。僕の論理式がでたらめのようですみません。少し論理学の本を読みましたが、ますます分からなくなってしまいました。質問ばかりで申し訳ないですが、どうかお付き合いいただけますと幸いです。

極限の定義でwikipediaには次のように書かれています。
lim[x→a]f(x)=bの定義は、
∀ε＞0、∃δ＞0、s.t.∀x∈R、0＜|x-a|＜δ⇒|f(x)-b|＜ε
これを、ε∈R、δ∈Rを補ったり、s.t.を省いたりして、より完璧に書くとどうなるのでしょうか。

通常は上の形で書かれる事が多そうですが、それは、ε＞0を見ただけで、読者はε∈Rを補うような約束があるのでしょうか。そうなら、x/yを見ただけで、x/y∈Rとかy≠0を補うような約束があることにはならないでしょうか。

lim[x→0]xsin(2/x) / sin(1/x)
=lim[x→0]2xsin(1/x)cos(1/x) / sin(1/x)
=lim[x→0]2xcos(1/x)
=0
というのはあっていますでしょうか。途中で約分したところが不安です。εδ論法の、
| 2xsin(1/x)cos(1/x) / sin(1/x) - 0 | ＜ε
に相当します。
分母があると分母≠0を補うとか、2xsin(1/x)cos(1/x) / sin(1/x)∈Rという条件を付け足す、という解釈だと、0＜|x-0|＜δ　の任意のxで成り立つことにはならないので、極限値は実際にはないことになります。

分母0だったら無視して、2xsin(1/x)cos(1/x) / sin(1/x)∈Rだったらそれはε未満、という解釈だと、0＜|x-0|＜δ　の任意のxで成り立つことにはなり、極限値は確かに0になります。

通常はどちらの解釈するのでしょうか。

stomachmanさんは、No.33で、x≠yならばx/y≠1を、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ ∀z(yz=x → z≠1))
と一通りに解釈されています。
stomachmanさんは、No.11で、x/y＞1を、
∃p(p=x/y ∧ p＞1)　…(1)
∀p(p=x/y → p＞1)　…(2)
と二通りに解釈されていますが、結局は何通りなのでしょうか。

僕はいままで高校数学の表記の習慣を主張してきましたが、そこの記述や論理には確固たるものがなく、時代によって変わるものもあります。今、純粋に数学基礎論よりの解釈を考えてみました。
stomachmanさんのおっしゃるように1/0は文法的には正しい。
高校数学では「1/0」表記はほとんど禁句ですが、「lim[n→∞](-1)^nは振動」とか、「x^2=1⇒x=1は偽」表記は許される。
semanticsなんたらという意味は良く分かりませんが、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ x/y≠1)
において、「∀x」という記述は、xに範囲が示されていなくて、どこからxを考えるのか直感的に分かりにくく、高校生にその記述をするのはよくないとしても、論理学的には普通。その正体不明のxたちの中で、（x∈R∧y∈R∧x≠y）を満たすものを取り出すという意味に考えれば、x/yという表記もありえるわけで、いろんなx,yで（x/y≠1)を満たすものを取り出すという意味も素直に受け入れられる。1/0≠1という感覚も分かる。
ただ、x/y∈Rというのを補うかどうかは、人間的(高校教育)か機械的(基礎論)かの感覚の違いがあり、stomachmanさんは後者の立場のような気がします。
しかし、x∈R∧y∈Rは補ったのに、x/y∈Rというのを補わない理由はあるのでしょうか。
εδ論法の極限の定義式で、f(x)∈Rが書かれていないのと同じような理由でしょうか。

stomachmanさんは、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ x/y≠1)は真
と考えられていますが、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ (x/y∈R∧x/y≠1))は偽
ということでよろしいでしょうか。

＞1/0≠2 は成立する。なぜなら1/0は実数ではないから
と書かれていますが、
(1,0)∈{(x,y)∈R^2|x/y≠1}
ですか？
{(x,y)∈R^2|x/y≠1}と{(x,y)∈R^2|x/y＜1∨x/y＜1}
は同じ集合ですか？違う集合ですか?

回答No.43

stomachman

#42<

>　1/0>1 は成立しないでしょう？

　成立しませんね。1がふたつあって紛らわしいので
　　1/0>2
でやらせて下さい。もちろん、「0で割ってるから駄目」というのは「成立しない理由」として採用しません。
　まず、普通に
　　12/3＞2
をstomachmanがどう読んでいるかというと、「3倍したら12になるものは、2より大きい」つまり
　　εz(3z=12)＞2
です。しかし1/0＞2では、
　　εz(0z=1)＞2
となって、「0倍したら1になるもの」は、少なくとも実数の中にはない：
　　∀z(z∈R⇒ 0z≠1)
このため、εz(0z=1)は「ナニカある対象」になってしまうけれども、それが
　　εz(0z=1)∉R
であることは分かっています。
　さて、＞がR×R（=実数の順序対<a,b>全体の集合）の部分集合であるということを思い出せば、 z＞2 とは <z,2>∈＞ のことであり、だから <z,2>∈＞ というだけでz∈Rを含意しています。つまり、
　　∀z( <z,2>∈＞ ⇒ z∈R)
なので
　　<εz(0z=1), 2> ∉ ＞
すなわちεz(0z=1)が何であれ、<εz(0z=1), 2>は集合＞の要素ではない。書き換えれば
　　￢(εz(0z=1)＞2)
である。つまり、「1/0>2は成立しない」。

　次に、
　　1/0≠2
をstomachmanが読むと「0倍したら1になるものは、2ではない」つまり εz(0z=1)≠2 です。まず
　　∀z(z∈R ⇒ 0z≠1)
であるから、
　　εz(0z=1)∉R
　までは同じ事。さて、"≠"はR×Rの部分集合ではなくワイルドカード"="の否定であるから、上記の論法は使えません。しかし、話はもっと簡単で、
　　2∈R, εz(0z=1)∉R
であるから、
　　εz(0z=1)≠2
つまり、「1/0≠2 は成立する」。

　まとめると、
○ 1/0>2は成立しない。なぜなら1/0は実数ではないから。
○ 1/0≠2 は成立する。なぜなら1/0は実数ではないから。

> 異なる結論にしてしまうと、部分式の内容に

> 踏み込んで論理式を読んだことになるし、

> P(x/y) を扱うときに困ると思う。

とおっしゃるけれど、恣意的にいじれるようなことではないと思います。

====================

> adhoc に ∧(y≠0) を付け足したのではなく

とおっしゃるけれども、んー、どうかなあ。
　「P(x/y)⇒y≠0が真である」とは、結局は【"/"を書いた時点で、意味的に考えて分母=0となる場合をうまく排除するように細工する】という(adhocな)規則を使った結果であるものを、因果関係をひっくり返して言っているだけなんじゃ？というのが疑問なんですよ。
　それを考えるために、"/"を書かないようにしたとき何が起こるか調べてみます。というのは、x/yが「zy=xとなるzが唯一存在するときには、それ」という意味でしかないので、(「zy=xとなるzが唯一存在する」が成立たない場合に)意味がはっきり定まらない。そういうものを曖昧にしないで明示的に扱いたいからです。

[1] P(x/y)とはP(εz(zy=x))のことだと見るとどうか。
　P(z)を
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R＼{0}) ⇒ P(εz(yz=x)))
を満たす述語であるとしましょう。
　y=0では「zy=xとなるzが唯一存在する」が成立たないためにεz(yz=x)が「（普通の意味での商ではない）ナニカある集合」を指す。すると、P(εz(zy=x))が真になるか偽になるかは、Pの内容によるわけです。たとえばP(z)が
　U(z)∧z∈R
である場合と
　z∈R⇒U(z)
である場合では結果が変わる。なので「P(x/y)⇒y≠0」かどうか
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R) ⇒ (P(εz(yz=x))⇒y≠0)))
の真偽もPの内容による。
　つまり、P(x/y)と一括して扱うのは不適切でしょう。

[2] 次に、胡散臭いεを無しにするために話を実数に限定して、ただし、P(x/y)を (P(z) for z such that yz=x) （これをQ(x,y)と書くことにします）と見たとき、どうか。少し詳細にやってみます。
　　yz=x
を含む命題Q(x,y)を扱うには
　(1) y≠0のとき、 yz=x となるzがある。（このとき、x/yとはzのことである。）
　(2) y=0かつx≠0のとき、 yz=x となるzはない。（このとき、x/yは定義されないナニカである。）
　(3) y=0かつx=0のとき、任意のzについて yz=x。（このとき、x/yは定義されないナニカである。）
と場合分けしなくてはいけないでしょう。
　そこでたとえばS(x,y)を
　　∃z(yz=x ∧ z=9)
とすると、(1)だと真にも偽にもなるが、(2)なら偽、(3)なら真ですから、
　　S(x,y) ⇒ (￢(y=0 ∧ x≠0) ∨ (y=0 ∧ x=0))
つまり
　　S(x,y) ⇒ (x=0 ∨ y≠0)
です。
　また、たとえばT(x,y)を
　　∀z(yz=x ⇒ z=9)
としたとき、(1)だと真にも偽にもなるが、(2)なら真、(3)なら偽ですから、
　　T(x,y) ⇒ ((y=0 ∧ x≠0) ∨ ￢(y=0 ∧ x=0))
つまり
　　T(x,y) ⇒ (x≠0 ∨ y≠0)
です。
　なので、S(x,y) ⇒ y≠0 も T(x,y) ⇒ y≠0 も、真とも偽とも決まらない。
　しかし、x,y,zは実数という限定が付いているとき、さらにxが0でない場合に限れば、(3)のケースが無視できて
　　(Q(x,y) ∧ x≠0) ⇒ y≠0,
　　((P(z) for z such that yz=x) ∧ x≠0) ⇒ y≠0,
つまり、
　　(P(x/z) ∧ x≠0) ⇒ y≠0
ということですね。

回答No.42

alice_44

いやあ、P(x/y) ⇔ P(x/y)∧(y≠0) というのは、
adhoc に ∧(y≠0) を付け足したのではなく、
P(x/y) ⇒ (y≠0) が真であることから
形式的に従うんですよ。
A⇒B の下では、A∧B ⇔ A です。
x/y≠1 については、やや議論が残るけれど、
x/y>1 では、これで疑いない。
1/0>1 は成立しないでしょう？
x/y>1 についてと x/y≠1 についてを
異なる結論にしてしまうと、部分式の内容に
踏み込んで論理式を読んだことになるし、
P(x/y) を扱うときに困ると思う。

それでは、x/y≠1 はどうかというと、
x/y=1 ⇔ ∃z,(z=x/y)∧(z=1) と変形した時に、
not(x/y=1) の not が右辺のどこに掛かるのか？
ということ。
x/y≠1 ⇔ ∃z,(z=x/y)∧(z≠1) なのか
x/y≠1 ⇔ not( ∃z,(z=x/y)∧(z=1) ) なのか
といえば、前者が正常だろうと私は思います。
≠ が二項関係だと書いたのは、そういうこと。

回答No.41

stomachman

ANo.38へのコメントについてです。

> ＞二重否定の除去　　￢(x/y≠1) ⇔ x/y=1


> 僕の解釈では、これはダメです。分数表記があるときは、分母≠0が隠れているという解釈なので、そういった二重否定の除去できません。

　うーむ、やはりそうおっしゃいますか。二重否定を除去できないとなると、考えられる唯一の説明は「x/y≠1は命題ではない」ということです。（なぜなら、あらゆる命題について、二重否定の除去は適用できるから。）
　つまり、（「∧ y≠0を補う」なんてもんじゃ済まなくて）そもそも「x/y」という文字列が残っている限り、それは論理式になってない「モドキ」であるということです。だとすれば、モドキを相手に対偶だの何だの言ってみても詮無い。（いや、モドキかモドキでないか、という議論をしようという訳ではありません。実はこういう話になるのを予想して、必要のない所では"/"を書かないようにしていたんですよ。そうすればヤヤコシいものを無しで済ませられるのですから。）
　ま、"/"の取り扱い（二重否定の除去禁止だの分母≠0を補うだのの規則の追加）をいくら定式化してみても、所詮は我流数学を拵えているだけになっちゃいます。そんなことやるより、基礎論を読み直す方が良いと思うなあ。

　それはさておき、
　　x=yz∧z≠1
だと、(x=yz)となるzがない場合にはこの命題全体が偽になり、
　　x=yz⇒z≠1
だと、(x=yz)となるzがない場合にはこの命題全体が真になる。これは"∧"と"⇒"の違いです。
　さらに、(x=yz)となるzが複数ある場合にそれらが全部z≠1なのか、それともz≠1となるものがひとつあればい良いのか、というのが∃と∀の違いです。("/"の場合はたまたま、存在すれば唯一である、という事情がありますけど。）

　★ 表現すべき命題の意味内容に応じて、これらの組み合わせを使い分けるのは全く差し支えないばかりか、使い分けねば正しく表現できません。

　さて、ご質問の場合はというと、x/y＞1という表記があったとして、それだけでは、どういう論理式に翻訳されるべきか、つまり「表現すべき命題の意味内容」が定まらない。言い換えれば、設問が一意的でない。だから設問に穴があるよ、というのが申し上げている趣旨です。

　いろんな「解釈」を対比なさっているけれども、"/"を含んだ形で書いていては「分母≠0を補うかどうか」などの曖昧さが残ったままになってしまって、整理したことになりません。"≠"にまで疑義が出ていますから、これも避けて￢(y=0)と書くことにする必要があるでしょう。
　たとえば「x/0は定義されていないからx/0＞1は偽」というご意見なら、設問は
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→∃z(yz=x ∧ z＞1))
と読まれたのだと分かりますし、対偶を考えたって同じ事です。また、「x/yと書いただけでy≠0がくっついてくる」というご意見では、それだけじゃ話は決まりませんが、
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→∃z((yz=x ∧ ￢(y=0)) → z＞1))
とか、
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→(￢(y=0)→∃z(yz = x ∧ z＞1)))
ということをおっしゃっているのかも知れない。（いまだに「ルール」が分からんので。）
　いずれにせよ、曖昧さを一切排除するのでなくては、論理式を書く甲斐がありません。

　しかし、そうやって整理した結果は、「元が曖昧なものを強いて読むならあなたはどう読むか」というだけのことであって、（カンチガイは大方終息したようなので、残っているのは）断然どれが正しいというものではない、せいぜい感性や習慣の話ですよ。

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> 回答の後半は、すみませんがよく理解できませんでした。


　おや、そですか。しかし、A⇔B⇔C
という書き方は断然落第、という所は憶えておかれると良いと思います。たとえば

> （x≠yならばx/y≠1）⇔（x≠yならば（y≠0 ∧ x/y≠1））⇔（x≠yならば（y≠0 ∧ x≠y））

とは、「「（x≠yならばx/y≠1）の真偽値と（x≠yならば（y≠0 ∧ x/y≠1））の真偽値は一致する」という命題の真偽値と、（x≠yならば（y≠0 ∧ x≠y））の真偽値は一致する」という意味になっちゃいますけど、そう読まれていいんですか？ということです。
　なお、推論と論理演算子との関わりについては、このカテゴリーで「カリーのパラドックス」を検索なされば、stomachmanのヨタが出てきます。

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　横レスになりますけど、ANo.39のコメントにお書きの

> ∃z(x=yz)∧z≠1
> 前者は、まずx/yの値が存在しなければいけなく、そのもとで……、つまり、分母y≠0を補うという解釈。

　もう、まるきり違います。きっとお忙しくてお間違えになったのでしょうが、余りに甚だしい誤解をなさっているようなので：
　第一に、「分母y≠0を補う」だなんて、どこに書いてありますか？ そんなことをせずに記述するための式なんだけどなあ。ToT　
　第二に、そもそも「∃z(x=yz)∧z≠1」だなんてナンセンス、書いてない筈（もし書いてたらミスタイプです）。
　第三に、「存在しなければいけなく」なんかないです。ただ、存在すれば真、しなければ偽、それだけのことです。
　第四に、「まず」も何も、∃z(x=yz∧z≠1)は∃z(z≠1∧x=yz)と同義ですし∃z(1≠z∧yz=x)とも同義です。交換可能な演算子において順番に意味がないのは当然のことでしょう。

お礼

ありがとうございます。

お互いのすれ違いは、高校数学の表記の習慣が関わっているのかなあと思うようになりました。
高校では方程式を解けとか、・・・であるような条件を求めよ、という問題があったら次のような同値変形します。カリーのパラドックスを検索する時間が今はないのですが、次のような表記は高校参考書では普通です。

(x-1)/x=0 ⇔ x≠0 ∧ x-1=0 ⇔ x=1

(x-1)/x≦0 ⇔ x≠0 ∧ x(x-1)≦0 ⇔ 0＜x≦1

(x-1)/x≠0 ⇔ (x-1)/x＜0 ∨ (x-1)/x＞0 ⇔ x＜0 ∨ 0＜x＜1 ∨ 1＜x ⇔ x≠0 ∧ x≠1

lim[n→∞]r^n=0 ⇔ -1＜r＜1

lim[n→∞]r^nは振動 ⇔ r≦-1

しかし、習慣的に次のような表記はあまりしないのです。

lim[n→∞]r^n≠0（これだけだと、収束するかどうかも分かりにくいため）
1/0は存在しない(1/0の意味が分かりにくいため)
行列Aに対して、A^(-1)は・・・(通常はA^(-1)を書く以前に、その存在性について明記)

高校生は、「lim[n→∞]r^n」だけを見るとそれは単なる記号で、収束も発散も振動もする可能性があると読みます。
高校生は、「(x-1)/x」だけを見ると、それは具体的な値が定まる関数として、それだけでx≠0が前提と読みます。

それらの違いに、何かの数学的意味があるのではなく、単なる習慣です。
なので、論理式においても、分数式があるとそれだけで分母≠0を補って読むのが習慣、と僕は解釈します。

回答No.40

MagicianKuma

＞MagicianKumaさんは、後者の立場なのでしょうか?
x/yの値が存在しなければ存在しないなりに式(x/y=1やx/y≠1）が成立するか考える。という立場です。
けっして、存在しなければならない（前者）でもなく、存在しなければそれでよいが、存在したとすれば（後者）でもありません。
ただ、それが仮定側（PならばQのP側）にあれば、成り立つところだけ考えれば良い。で、
x/y≠1が仮定側に出てきたときは、何も補う必要はありません。y=0でもx/y≠1は成り立つという見解です。
x/y=1が仮定側に出てきたときは、y=0の場合を考える必要はないという見解です。

＞0≦x≦1 ならば 1/x≧1 の真偽をどう考えますか？
＞この命題を偽ととらえる人（私もそうです）にとっては、x=0のとき1/x≧1は成立しないが反例として唯一のものではないでしょうか？
＞とかかれましたが、後者の立場では、その命題は真になると思うのですが。
後者の立場ではありません。x=0のとき1/xは未定義なので1/x≧1 は成り立たない。よって（0≦x≦1 ならば 1/x≧1） は偽。

回答No.39

MagicianKuma

>僕は、∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」
>理由は、結論において、x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで両辺にyをかけて同値変形した。
x/y≠1を満たす領域を想定するのに、y≠0を持ってくるのがよく分かりません。
＞{(x,y)∈R^2|x/y≠1}の領域をxy平面に描くのに、y≠0を補って描きます。その点もMagicianKumaさんと解釈が違うのでしょうか。
x/y=1を考えるなら、y≠0が必要ですが、x/y≠1　すなわち　￢(x/y=1)でしょう。y=0の時　￢(x/y=1)は真でしょう。何も補う必要ないでしょう。

そもそも、∀x∈R,∀y∈Rを補うのも、
P(仮定) ⇒ Q(結論)　を考えるとき、Pが偽ならQの真偽によらずP ⇒ Qは真。だからPが真について考えれば良いということから、
元問題　x＞y ⇒ x/y＞1　に∀x∈R,∀y∈Rを補った理由も、仮定であるx>yが真となるためです。
もちろん∀x∈R,∀y∈Rは(x＞y ⇒ x/y＞1）全体に掛かるわけです。

一方　x≠y ⇒ x/y≠1　なら何も補わず、あらゆるx,yを持ってきても良いはずです。ｘ=キリン,y=リンゴとか。　/が何を意味するのか分かりません。
なので、命題になっていないと以前書きました。∀x∈R,∀y∈R(x≠y ⇒ x/y≠1)　とすると命題になりますが、その場合
x≠y かつ y≠0 ならば x/yは定まり、x/y≠1が成立する。
x≠y かつ y=0 ならば x/yは未定義でx/y≠1が成立する。
(x≠y かつ y≠0）または（x≠y かつ y=0） ⇔ x≠y なので結局、全ての実数x,yに対して，x≠y ならば x/y≠1　は成り立つ。　だけのことなんですが。

お礼

ありがとうございます。まず、前回のお礼に書いた「x≠yならばx/y≠1」の件で、No.36のalice_44さんの書いた式に誤植があると思われ、僕自身も誤植のまま引用したので、勝手ながら訂正します。

修正前
No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

修正後
No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y=0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

＞x/y=1を考えるなら、y≠0が必要ですが、x/y≠1　すなわち　￢(x/y=1)でしょう。

それは僕の解釈とは異なります。僕は分数表記があれば必ず、分母≠0をその都度補うという解釈です。

（x/y≠1）⇔（y≠0 ∧ x/y≠1）⇔(y≠0 ∧ x≠y）
また、
￢(x/y=1)⇔￢(y≠0 ∧ x/y=1)⇔￢(y≠0 ∧ x=y)⇔(y＝0 ∨ x≠y)
したがってその二つは同値ではないという解釈です。

x/y≠1という表記があったとして、
∃z(x=yz)∧z≠1
という解釈と、
∀z(x=yz⇒z≠1）
という解釈があるとstomachmanさんはおしゃっていました。
前者は、まずx/yの値が存在しなければいけなく、そのもとで……、つまり、分母y≠0を補うという解釈。
後者は、x/yの値が存在しなければそれでよいが、存在したとすれば……という解釈。

僕はいかなる場合も前者で解釈するという立場。p⇒qのqだけで分数表記があれば、そこだけでその解釈をするという立場。
MagicianKumaさんは、後者の立場なのでしょうか?

MagicianKumaさんは、No.23で、

＞0≦x≦1 ならば 1/x≧1 の真偽をどう考えますか？
＞この命題を偽ととらえる人（私もそうです）にとっては、x=0のとき1/x≧1は成立しないが反例として唯一のものではないでしょうか？

とかかれましたが、後者の立場では、その命題は真になると思うのですが。

回答No.38

stomachman

ANo.35へのコメントについてです。

　大変興味深い話が出てきたように思います。楽しいですねえ。

> このルールがおかしいというのは納得できないです。

>x≠yならばx/y≠1

>という命題において、僕はy≠0というルールを右辺だけに補うという解釈なのですが、

　「右辺だけ」とは気がつきませんでした。さて、

　　x/y≠1 ∨ x=y
にはその「右辺」がないんですが、どうなさるんでしょうか？　という質問をしなくてはならない。ということは、「ルール」がまだきちんと記述されていない、ということに他ならないでしょう。
　さらに、単独で
　　x/y≠1
と書かれた場合にどうなさるかと言うと、

> ￢(x/y≠1)⇔￢(x/y≠1 ∧ y≠0)⇔￢（x≠y ∧ y≠0）⇔（x＝y ∨ y＝0）
> ⇔(（x/y=1 ∧ y≠0）∨ y=0)⇔(（x/y=1）∨ y=0)

ということですが、二重否定の除去
　　￢(x/y≠1) ⇔ x/y=1
をおこなってからお示しの例に倣うことにすれば、
　　x/y=1 ⇔ (x/y=1 ∧ y≠0)
となるでしょう。最後にお書きの

> (（x/y=1）∨ y=0)

とは異なる答が出てしまいました。だからこの「ルール」はなんかおかしいと申し上げたのです。

　（なお、ANo.36には「a≠b は￢(a=b)の略記ではない」というご意見も出ているようですが、"="は定義域を必要としないワイルドカードである。なのに、"≠"はただの関係だ（∴扱う対象の集合ごとに、その都度定義し直す必要がある）というのはちと無理ではないかと思います。）


> と僕は読みます。x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで、両辺にyをかけたx≠yの領域を描き、xy平面に対する補集合を考えます。

　すると「ルール」というのは、どうやら機械的に記号を処理するというものではなくて、「その場その場で"/"の定義域と照らし合わせる」ということをなさっているのだろうと思います。
　でも、そのやり方をするには、定義域が分かっていないといけないのではないか。もし"/"が「まだ定まっていないある2変数関数」だったらお手上げになりませんか？さらには、「未知の関数f」が出て来る関数方程式（たとえば微分方程式）
　　g(f,x)=0
だとどうする？fの定義域どころか、そんなfがあるかどうかすら未知です。

　そういう場合にも
　　∀f∀x(g(f,x)=0 → P(f,x))
ならば何の問題も起こらないわけですが。

================

> 左辺が先にあり右辺に変形するということを想定しています

　a=b と b=a は同じことである。また、a⇔b と b⇔a は同じことである。同じことなら、せっかく左辺と右辺の区別があるのだから「左辺が先にあり右辺に変形する」という意味に流用しちゃおう、という話ですね。
　ですが、それはただの略記に過ぎません。略記のせいで曖昧さが生じる場合には、当然、略記はやめなくてはいけないでしょう。たとえば、お書きのような、一連の推論を表すための
　　A⇔B⇔C
という書き方は断然落第です。なぜなら、正直に括弧を補って
　　(A⇔B)⇔C
すなわち
　　(((A∧B)∨(￢A∧￢B))∧C)∨(((A∨B)∧(￢A∨￢B))∧￢C)
と読んで、何もおかしなところはないからです。さらに、たとえばAに真, BとCに偽を割当てると(A⇔B)⇔C は真。だからこれは "A⇔B⇔C" で意図なさった筈の意味とはまるで違うことを述べている命題でしょう。
　要するに、推論|- と論理演算"⇔"とを混同したための誤りだと思います。（「カリーのパラドックス」も類縁の話でしょう。）

　一方、習慣的に
　　A=B=C
とか書いちゃいますが、これに正直に括弧を補って
　　(A=B)=C
と読もうとしても、「(A=B)という命題は対象(集合)じゃないんだから、"="の左辺にならないでしょ。だから、これは略記なんだな、と分かって下さいよ」という言い訳ができます。略記と分かっていればいつでも正書法
　　(A=B) |- (A=C)
に戻せるのだから手抜きを許してよ、ということですね。

　そういう訳で、右辺左辺のお話はご質問とは切り離せる、別件でしょう。

お礼

ありがとうございます。まず、前回のお礼に書いた「x≠yならばx/y≠1」の件で、No.36のalice_44さんの書いた式に誤植があると思われ、僕自身も誤植のまま引用したので、勝手ながら訂正します。

修正前
No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

修正後
No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y=0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

改めて整理すると、僕は分数表記があれば必ず、分母≠0をその都度補うという解釈です。
x/y≠1という表記があったとして、
∃z(x=yz)∧z≠1
という解釈と、
∀z(x=yz⇒z≠1）
という解釈があるとstomachmanさんはおしゃっていました。
僕はいかなる場合も前者で解釈するという立場。

（x≠yならばx/y≠1
）⇔（x≠yならば（y≠0 ∧ x/y≠1
））⇔（x≠yならば（y≠0 ∧ x≠y
））

（x/y≠1 ∨ x=y）⇔（（y≠0 ∧ x/y≠1）∨ x=y）⇔（（y≠0 ∧ x≠y）∨ x=y）

なにもおかしくはありません。

＞二重否定の除去　　￢(x/y≠1) ⇔ x/y=1

僕の解釈では、これはダメです。分数表記があるときは、分母≠0が隠れているという解釈なので、そういった二重否定の除去できません。

いただいたご回答の後半は、すみませんがよく理解できませんでした。

僕の、左辺右辺とか対偶のたとえ話はよくなかったので、ちょっと変えて、改めて書きます。

y/x≠1ならばx/y≠1
は真か偽か？
とあったら、僕は（（x≠0 ∧ y/x≠1
）ならば（y≠0 ∧ x/y≠1
））で偽と読みます。
つまり、その都度、分母≠0を補うという解釈。
人によっては分母≠0を全体に補って、
（（x≠0 ∧ y≠0
）ならば（y/x≠1ならばx/y≠1））で真と読む人もいる。

回答No.37

MagicianKuma

x≠y ⇒ x/y≠1　について
これがいきなり問われたとき、∀x∈R,∀y∈R　が省略されていると考えるのはどうかなと思います。（x>yの時と異なり)
命題になっていないが私の見解です。ですが、これまでの議論の展開および高校数学の問題に端を発していることから
∀x∈R,∀y∈R(x≠y ⇒ x/y≠1) としましょう。
その上で、上記命題は真です。対偶は
∀x∈R,∀y∈R(￢(x/y≠1) ⇒ ￢(x≠y))　です。
￢(x/y≠1)はx/y=1　です。￢(x≠y)はx=y　です。
∀x∈R,∀y∈R(x/y=1 ⇒ x=y)　は真

元問題では質問者と同意見だったと思いますが、上記については私とは見解が異なるようですね。
質問者のように、∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」
y≠0かつを補う必要性も補ってよい理由もまったく考えられません。

お礼

ありがとうございます。

x≠yならばx/y≠1
の自然な解釈として意見が分かれました。

stomachmanさんは、ANo.33の最後の式で、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ ∀z(yz=x → z≠1)) は「真」
つまり、x≠yならば、yz=xとなるようなzがあれば、そのzに対してz≠1。例えば、x=1,y=0とするとそのようなzはないので、x=1,y=0は結論を満たす。

No.37のMagicianKumaさんは、
対偶は、∀x∈R,∀y∈R(￢(x/y≠1) ⇒ ￢(x≠y))　
つまり、∀x∈R,∀y∈R(x/y=1 ⇒ x=y)　で「真」

No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

僕は、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」
理由は、結論において、x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで両辺にyをかけて同値変形した。

＞y≠0かつを補う必要性も補ってよい理由もまったく考えられません。

僕にとって領域や集合が念頭にあります。
x≠y ⇒ x/y≠1
が真か偽かと聞かれたとき、
{(x,y)∈R^2|x≠y}⊂{(x,y)∈R^2|x/y≠1}
が成り立つどうかと同値と考えます。
{(x,y)∈R^2|x/y≠1}の領域をxy平面に描くのに、y≠0を補って描きます。その点もMagicianKumaさんと解釈が違うのでしょうか。

回答No.36

alice_44

←A No.32 補足
対偶については、A No.19 で説明済みと思います。
バリエーション (x≠y ならば x/y≠1) で問題となるのは、
x/y の曖昧さではなく、≠ の曖昧さです。
x/y≠1 を x/y=1 の否定と受け取れば、
⇔｛（x/y＝1）⇒（x=y）｝ となるのですが、
≠ という二項関係が定義済みと受け取れば、
⇔｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ となります。
これは、原題 (x＞y ならば x/y＞1) には無かった
曖昧さで、話題が違います。
こっちの曖昧さについては、原題より更に意見が割れる
でしょうが、私としては、
(x=y でない) とか not(x=y) とか書かずに
関係子として ≠ の記号を使っている以上、
⇔｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべき
だと考えます。

＞ 高校数学で方程式や不等式を解け、と書いてあれば、通常は
＞ 文字の範囲は実数で分母≠0や根号内0以上や真数正は
＞ 約束と教えるのですが、

約束ではなく、単に、例えば (sin x)/x=1 に x=0 を
代入しても成立しないだけです。規約を暗記しなくても、
論理的に処理すれば済むだけの話だと思います。
学校数学は、生徒にそれを約束ごとだと誤解させるから
いけない。

お礼

ありがとうございます。

x≠yならばx/y≠1
の自然な解釈として意見が分かれました。

stomachmanさんは、ANo.33の最後の式で、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ ∀z(yz=x → z≠1)) は「真」
つまり、x≠yならば、yz=xとなるようなzがあれば、そのzに対してz≠1。例えば、x=1,y=0とするとそのようなzはないので、x=1,y=0は結論を満たす。

No.37のMagicianKumaさんは、
対偶は、∀x∈R,∀y∈R(￢(x/y≠1) ⇒ ￢(x≠y))　
つまり、∀x∈R,∀y∈R(x/y=1 ⇒ x=y)　で「真」

No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

僕は、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」
理由は、結論において、x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで両辺にyをかけて同値変形した。

＞学校数学は、生徒にそれを約束ごとだと誤解させるからいけない。

例えば、(3)√x（3乗根）と書けばxはすべての実数、x^(1/3)と書けば、xは正とするのが約束と僕は教えています。x=-8を代入して、前者は値が存在し、後者は値が存在しないと論理的には処理できないと思います。ま、これは小さな話題で、いま気になるのは上で解釈がまっぷたつに分かれた話題です。

回答No.35

stomachman

ANo,33へのコメントについてです。

> 僕は、 x/y＞1という不等式を解きなさい、領域を描きなさいという問題を想定して、同値変形しています

　つまり、「y(x-y)＞0 (なぜなら、この不等式から…」という所は「y(x-y)＞0 (⇔ y(x-y)＞0 ∧ y≠0）」という意味ですか。それなら理解できます。（しかし、だったらなぜその前の段階で（xy＞y^2 かつ y≠0)と同値の(xy＞y^2)にしとかないのかな？というのはありますけど。）

　それはさておき、ではなくて、強く関連しているようですが、

> x≠yならばx/y≠1

> は真か偽か？

> とあったら、僕は、

> ∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」

> と考える

　ところがstomachman流に問題を

　　∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ ∀z(yz=x → z≠1))
と読むと、この式は真になります。
　違いは、【「x/y」が出てくれば「 ∧ y≠0 」を補って読む】というルールを採用なさってる（ように見える）という点にあります。そして、「暗黙のうちに分母≠0という条件が付いている」ということの意味はこれなのだろうな、と思います。そこで、

＞人によっては対偶を考えて、

　しかし、対偶を考えたって答は同じであるはずです。対偶を取ったせいで結論が変わる、なんてことはない。（割り算どころか命題論理のレベルの話ですから、ここを曲げる訳には行きませんよ。）なのに「対偶を取ったら結論がひっくり返った」かのように見えた。その原因は、上記のルールによれば、

> ∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝

の括弧{ }内の対偶を取った式が

> ∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1）⇒（x=y）}

ではない、ということでしょう。じゃあ、ルールを適用した結果は
　　∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1 ∧ y≠0）⇒（x=y）}
なのか、それとも
　　∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1 ∨ y=0）⇒（x=y）}
なのか。
　もちろんルールに従っている前者が正解です。が、一方「対偶を取ったせいで結論が変わる、なんてことはない」ということから決まる「正しい式」は後者です。おやおや？

　再度ルールを確認しますと、「x/y」が出てきたら「 ∧ y≠0 」を補う。すなわち「x/y＞1」なら「x/y＞1 ∧ y≠0 」と読み、「x/y≠1」なら「x/y≠1 ∧ y≠0 」と読み、「x/y＝1」なら「x/y=1 ∧ y≠0 」と読む。だとすると、
　　￢(x/y≠1)
をどう読むんでしょうか。
　　￢(x/y≦1)
ならどうでしょう。
　という訳で、このルール、なんかおかしいですね。ってことは「【「x/y」が出てくれば「 ∧ y≠0 」を補って読む】というルールを採用なさってる（ように見える）」という推測が誤りなのでしょう。
　では、正しいルールはどうなんでしょうか。（stomachmanの答はもちろんANo.33の最後の式です。）

お礼

ありがとうございます。

x≠yならばx/y≠1
の自然な解釈として意見が分かれました。

stomachmanさんは、ANo.33の最後の式で、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ ∀z(yz=x → z≠1)) は「真」
つまり、x≠yならば、yz=xとなるようなzがあれば、そのzに対してz≠1。例えば、x=1,y=0とするとそのようなzはないので、x=1,y=0は結論を満たす。

No.37のMagicianKumaさんは、
対偶は、∀x∈R,∀y∈R(￢(x/y≠1) ⇒ ￢(x≠y))　
つまり、∀x∈R,∀y∈R(x/y=1 ⇒ x=y)　で「真」

No.36のalice_44さんによると、曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

僕は、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx≠y）｝⇔「偽」
理由は、結論において、x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで両辺にyをかけて同値変形した。

＞しかし、対偶を考えたって答は同じであるはずです。対偶を取ったせいで結論が変わる、なんてことはない。

僕のいいたかったことは、式の順序で、微妙な解釈が変わるということです。
例えば、2log(x)=log(x^2)と書くのはいいとしても、log(x^2)=2log(x)と書くのはよくない。log(x^2)=2log|x|と書いたほうがいいということです。その例においても変数の範囲が明記されてないことによる解釈の違いが発生しますが、僕の解釈では、左辺が先にあり右辺に変形するということを想定しています。
もうひとつの例は、高校で区分求積法を習いますが、
lim[n→∞]Σ[k=1,n]f(k/n)(1/n)=∫[0,1]f(x)dx
と教科書に書いてあり、決して、∫[0,1]f(x)dx=lim[n→∞]Σ[k=1,n]f(k/n)(1/n)とは書かれていないことです。高校では不定積分が先に出てきて、大学では定積分(リーマン積分)が先に出てきて、といった積分の定義が違うので、区分求積法の扱いはまぎゃくになることは知っています。

x≠yならばx/y≠1

という命題において、僕はy≠0というルールを右辺だけに補うという解釈なのですが、人によっては、
「仮定ならば結論という命題はひとつにつながったもので、右辺だけに適用するのはおかしい。げんに、対偶をとれば左右が逆になるではないか。なので、y≠0というルールは両辺全体に適用する」という解釈なのです。

＞再度ルールを確認しますと、「x/y」が出てきたら「 ∧ y≠0 」を補う。という訳で、このルール、なんかおかしいですね。

￢(x/y≠1)⇔￢(x/y≠1 ∧ y≠0)⇔￢（x≠y ∧ y≠0）⇔（x＝y ∨ y＝0）
⇔(（x/y=1 ∧ y≠0）∨ y=0)⇔(（x/y=1）∨ y=0)
と僕は読みます。x/y≠1を満たす領域を想定して、y≠0のもとで、両辺にyをかけたx≠yの領域を描き、xy平面に対する補集合を考えます。
￢(x/y≦1)⇔(（x/y＞1）∨ y=0)
と読みます。解釈の違いは確かにあるとしても、このルールがおかしいというのは納得できないです。