数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.44

stomachman

ANo.41へのコメントについてです。

> お互いのすれ違いは、高校数学の表記の習慣が関わっているのかなあと思うようになりました。

　「実数（複素数）の範囲で」というような但し書きが付いていれば、習慣的な書き方はそれなりに妥当なものだと思います。「1/0は、少なくとも複素数の範囲には存在しない」は真ですもんね。心ある出題者は、こういう但し書きを（たとえ大抵の生徒がその意味を深く考えたりしないとしても）疎かにはしないと思いますよ。言ってみれば矜持の問題でしょう。
　A⇔B⇔Cはひどく気持ち悪いですが、その記法について予め説明があるのなら（たとえば論理式の場合には括弧を省略しないで(A⇔B)⇔Cと書くよ、という(ad hocながら)決まりにしておくなら）受容できるでしょう。

> なので、論理式においても、分数式があるとそれだけで分母≠0を補って読むのが習慣、と僕は解釈します。

　（定義が書けない概念は使えないのと同じように、）習慣的な書き方を使うには、いつでも論理式による正書法に戻せる、という裏付けがなくてはならない。そして、習慣的な書き方をしたために本来の意味を見失ってしまうような時にこそ、論理式が切れ味を発揮すると思っています。(だから、迷子の質問者に対するstomachmanの回答にはちょいちょい論理式が現れるんです。）なのに、その論理式の中にまで習慣だの略記法だのを持ち込んだら、切れ味が鈍る。「いちいち意味など考えずに、全く機械的に操作できる」ということこそが切れ味の由来なのですから。
　標語的に言うなら「∀x∈R, P(x)なんて書くぐらいなら論理式書くな」かな？　項の順番に意味を持たせてみたり、implicationとその対偶とを別の読み方で読んだりするのも、誤りや混乱の誘因じゃないかと思います。

> 高校生は、「(x-1)/x」だけを見ると、それは具体的な値が定まる関数として、それだけでx≠0が前提と読みます。

　　J = ∫[x=-π～π] (x-1)/x dx
と書いてあってもx≠0が前提と読むんですかね？それともこういうのは『「(x-1)/x」だけ』とは区別する？…ううむむむ。
　実はstomachmanの本体は、中学生または高校生だったことがあるんですが、当時「(x-1)/x」だけを見たとしたら、「x=0のときには値が定まらない関数」と読んでいただろうと思います。少なくとも、「それだけでx≠0が前提」と読むような（出題者への）サービス精神はありませんでした。なぜなら、もし自分が導いた式が「(x-1)/x」だった場合、「それだけでx≠0が前提だから、いちいちx≠0かどうかなんて書かなくてもいいや」などと甘い事を期待していたら、でっかい×を貰う羽目になるに違いなかったからです。
　さて、あるとき不完全性定理というものを知って形式主義（という実に高校生受けしない名称を持つ分野）に興味を持ち、（また、同級生たちがなぜかあまり遊んでくれなくなったのもあって、）数学基礎論を自習したんです。そしたら、小学校以来の様々なモヤモヤがどっさり解消した。「コマカイ事を妙に念押しするな」と思っていたけど、なるほどそういう事情だったのか、というようなことが分かった訳です。（いや、ε記号の間違いをやらかすところを見ると、当時の知識はかなり錆び付いているようではありますが。）
　なので、モヤモヤが生じたら（略記や習慣を捨てて）基礎から見直そうよ、というのがとりあえずの方針なんです。

お礼

ありがとうございます。僕の論理式がでたらめのようですみません。少し論理学の本を読みましたが、ますます分からなくなってしまいました。質問ばかりで申し訳ないですが、どうかお付き合いいただけますと幸いです。

極限の定義でwikipediaには次のように書かれています。
lim[x→a]f(x)=bの定義は、
∀ε＞0、∃δ＞0、s.t.∀x∈R、0＜|x-a|＜δ⇒|f(x)-b|＜ε
これを、ε∈R、δ∈Rを補ったり、s.t.を省いたりして、より完璧に書くとどうなるのでしょうか。

通常は上の形で書かれる事が多そうですが、それは、ε＞0を見ただけで、読者はε∈Rを補うような約束があるのでしょうか。そうなら、x/yを見ただけで、x/y∈Rとかy≠0を補うような約束があることにはならないでしょうか。

lim[x→0]xsin(2/x) / sin(1/x)
=lim[x→0]2xsin(1/x)cos(1/x) / sin(1/x)
=lim[x→0]2xcos(1/x)
=0
というのはあっていますでしょうか。途中で約分したところが不安です。εδ論法の、
| 2xsin(1/x)cos(1/x) / sin(1/x) - 0 | ＜ε
に相当します。
分母があると分母≠0を補うとか、2xsin(1/x)cos(1/x) / sin(1/x)∈Rという条件を付け足す、という解釈だと、0＜|x-0|＜δ　の任意のxで成り立つことにはならないので、極限値は実際にはないことになります。

分母0だったら無視して、2xsin(1/x)cos(1/x) / sin(1/x)∈Rだったらそれはε未満、という解釈だと、0＜|x-0|＜δ　の任意のxで成り立つことにはなり、極限値は確かに0になります。

通常はどちらの解釈するのでしょうか。

stomachmanさんは、No.33で、x≠yならばx/y≠1を、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ ∀z(yz=x → z≠1))
と一通りに解釈されています。
stomachmanさんは、No.11で、x/y＞1を、
∃p(p=x/y ∧ p＞1)　…(1)
∀p(p=x/y → p＞1)　…(2)
と二通りに解釈されていますが、結局は何通りなのでしょうか。

僕はいままで高校数学の表記の習慣を主張してきましたが、そこの記述や論理には確固たるものがなく、時代によって変わるものもあります。今、純粋に数学基礎論よりの解釈を考えてみました。
stomachmanさんのおっしゃるように1/0は文法的には正しい。
高校数学では「1/0」表記はほとんど禁句ですが、「lim[n→∞](-1)^nは振動」とか、「x^2=1⇒x=1は偽」表記は許される。
semanticsなんたらという意味は良く分かりませんが、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ x/y≠1)
において、「∀x」という記述は、xに範囲が示されていなくて、どこからxを考えるのか直感的に分かりにくく、高校生にその記述をするのはよくないとしても、論理学的には普通。その正体不明のxたちの中で、（x∈R∧y∈R∧x≠y）を満たすものを取り出すという意味に考えれば、x/yという表記もありえるわけで、いろんなx,yで（x/y≠1)を満たすものを取り出すという意味も素直に受け入れられる。1/0≠1という感覚も分かる。
ただ、x/y∈Rというのを補うかどうかは、人間的(高校教育)か機械的(基礎論)かの感覚の違いがあり、stomachmanさんは後者の立場のような気がします。
しかし、x∈R∧y∈Rは補ったのに、x/y∈Rというのを補わない理由はあるのでしょうか。
εδ論法の極限の定義式で、f(x)∈Rが書かれていないのと同じような理由でしょうか。

stomachmanさんは、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ x/y≠1)は真
と考えられていますが、
∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ (x/y∈R∧x/y≠1))は偽
ということでよろしいでしょうか。

＞1/0≠2 は成立する。なぜなら1/0は実数ではないから
と書かれていますが、
(1,0)∈{(x,y)∈R^2|x/y≠1}
ですか？
{(x,y)∈R^2|x/y≠1}と{(x,y)∈R^2|x/y＜1∨x/y＜1}
は同じ集合ですか？違う集合ですか?