数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
-----------
これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.54

B-juggler

どうしても気になるので、ゴメンね。

連休中にいろいろとσ(・・*)も見直して、

「言っていることが正しく伝わっていない」ところが多々見られるな。

と、感じています。

典型例はこれ。

Ｎｏ．４７で　ＭａｇｉｃｉａｎＫｕｍａ　さんが

＞∀x∈R,∀y∈R(x≠y ⇒ x/y≠1)が偽と考えられている方にお願いです。

＞これが偽であるのなら、反証を示してください。

と、提案されました。

これに対して、お礼の中で、

～～
No.46のalice_44さんによると、
≠ の ＝ を実数の二項関係とみなすと、
（1/0≠1）つまり (1/0＜1 ∧ 1＜1/0) は、
もともと1/0が実数でないことから偽で、
よって、 ∀x∈R,∀y∈R(x≠y ⇒ x/y≠1)という偽の命題の反例は、x=1,y=0
～～～
と、あるんだけど、

これは言われてないね。

つまり　Ａ≠Ｂ　⇔　（Ａ＜Ｂ　∧　Ａ＞Ｂ）

とは言われてないよ。

≠　を　こういう風に定義するのかしないのか？

　＃二項関係ね。（σ(・・*)には二項台数の方がしっくり来るけど）

のことを言われているのだから。

Ｓｔｏｍａｃｈｍａｎ先生の「ワイルドカード」に対しての

こうやることも含めてあるんだろうか？　という問いかけ。

だから上の記述は全くないからね。

勝手に作っちゃダメだとおもう。

「ワイルドカード」にかんしてσ(・・*)は、二項代数として考えてみていました。

ただそこから先に進まないから、定義としてしか捕まえていない。

　＃半群にも、モノイドにもならない。何の性質もないから使えない＞＜

（左辺）＝（右辺）　という関係としか考えていない。

　＃（左辺）≠（右辺）　もおなじく。

　＃たぶんＡｌｉｃｅ先生もこういうことを言われているんだと思うけれど。

それで、いつの間にか、問題が摩り替わっちゃってる。

>　∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ (x/y∈R∧x/y≠1))は偽

> ということでよろしいでしょうか。

こんな風に。　ｘ／ｙ　∈　Ｒ　に勝手に変わってる。

これはＮｏ．４９で　Ｓｔｏｍａｃｈｍａｎ先生がやられているとおり、

（ｘ，ｙ）＝（１，０）　とやれば、　ｘ／ｙが実数ではなくなるので

偽です。　これは文句なし。

ただね、これは摩り替わっていますからね。

Ｎｏ．４７　のもとの質問に答えられてないんです。

これを何とかしませんか？　なんかはっきりしなくていやだ。

悪いけれど、質問者さんは先生ですから、教えなきゃいけない。

勝手に人の話を解釈して、足して言ってはいけないと思う。

もう少し、生徒さんたちのことも考えようよ。

これじゃ、困惑するよ。嫌われたら聴いてくれなくならないかなぁ？

そっちが心配になるよ。そしてσ(・・*)の教え子なんかが、大学で教え始めて

苦労しないか、先々ね。頼みます。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.53

stomachman

ANo.49へのコメントについてです。

> 極限の定義の論理式
> ∀ε((ε∈R ∧ ε＞0) ⇒ ∃δ((δ∈R ∧ δ＞0) ⇒ ∀x(x∈R ⇒ ((0＜|x-a| ∧ |x-a|＜δ)⇒|f(x)-b|＜ε))))

　それはナイですよ。「p⇒qとは￢p∨qのこと」というキホンを思い出して下さい。まず
　　 ∃δ( δ∉R ∨ ￢(δ＞0))
は（Rと＞がフツーの意味だとすれば）いつでも真。恒真式です。（実際、δ=-5 は δ∉R ∨ ￢(δ＞0) を満たします。）だから、Pを勝手な述語として
　　∃δ( (δ∉R ∨ ￢(δ＞0)) ∨ P)
（同じ事ですが、
　　 ∃δ( (δ∈R ∧ δ＞0) ⇒ P)
）もいつでも真です。従って、
　　(∃δ((δ∈R ∧ δ＞0) ⇒ P) ∨ (ε∉R ∨ ￢(ε＞0))
（同じ事ですが、
　　 (ε∈R ∧ ε＞0) ⇒ ∃δ((δ∈R ∧ δ＞0) ⇒ P)
）はどんなεについても真になります。だから、
　　 ∀ε((ε∈R ∧ ε＞0) ⇒ ∃δ((δ∈R ∧ δ＞0) ⇒ P))
は恒真式。
　Pに何を持ってきても「うまく行く」のは当たり前で、これじゃ何も定義したことにならんわけです。

回答No.52

stomachman

コメント欄をいくつか見ていて、少々説明が必要かなと思うので追記します。（とは言ってもstomachmanは専門家じゃないし、少なくともstomachmanの本体は「数ヲタ」にも該当しない、ということはお断りしておきますが。）

　数学の大抵の概念は「定義」、すなわち「既にあるものに名前をつける」というやり方で導入されます。そして、様々な定義の基盤となる「既にあるもの」の世界をぎりぎりまで小さくまとめようとしたのがZF公理系でしょう。そこでは「既にあるもの」として集合だけを残した。ですが、「既にあるもの」自体は当然この手では導入できない。そこで集合は定義によってではなく、無定義用語とその用語に関する公理系、という方法で導入されます。

　ANo.46 に

> 集合論の ＝ は、単なる合同関係ではなくて、二項関係どころか
集合すらまだ定義されない時点から、「対象」の異同として
与えられている、非常に胡散臭いが、無しではすまない何か。

とあります。こう言われてしまうひとつの理由は、数学の大抵の分野における多くの概念（用語）と違って、集合論の最も基礎的な概念（ =と∈）は無定義用語であって、その意味は公理系によって定められているという点にあるでしょう。

　「無定義用語とその用語に関する公理系」で概念を導入するのは、伝統的にはごく普通のやり方でした。証明に基づく数学（すなわち公理主義）の開祖であるユークリッドの「公準」がそもそもこれですよね。例えば自然数を（「既にあるものに名前をつける」のではなく）「無定義用語とその用語に関する公理系」（ペアノの公理系）として導入できますし、こっちの方が馴染みがあるとおっしゃる方も多いでしょう。
　ところが、ZF公理系における自然数の概念では、話の順番がひっくり返っています。すなわち、まず、集合という概念が含意する命題の一つとして「無限集合が存在する」（無限公理）ということを宣言しておきます。そして、ペアノの公理系を満たす集合の集合Nの存在とその唯一性を証明して、これに「自然数」という名前を付けることで自然数を定義します。
　つまり、様々な数学を構築する際に、伝統的なやり方に従って「無定義用語とその用語に関する公理系」から話を初めて構わないけれども、大抵の場合にはそうする代わりに近代風に「（目的に適う）特別な性質を持つ集合が存在することを証明し、それらに名前を付ける」というやり方で定義として導入することができます。この手を使うと「天下りで公理を宣言してるけど、ホントにそんな公理を満たすものが考えられるの？自己矛盾してない？」ということをいちいち心配しないでZF公理系に押っつけてしまえる。変な議論を抜きにして、さっさと本題に進める訳です。たとえば超準解析学(nonstandard analysis)では、無限大や無限小を含む拡張された実数の概念を定義によって導入しています。（その定義を理解するためには「超積」だの「ウルトラフィルタ」だのと呼ばれる難しい概念を勉強しなくてはならないけれど、ひとたび定義できてしまうと、これらの概念には以後さっぱりお目にかからない。）
　しかし何でもこの手で行けるわけじゃなく、「あらゆる集合の全体」や「超限順序数の全体」のように、集合にならず、従って「ある種の集合に名前を付けたもの」として定義できない概念もあります。

　さて、”＝”は、「一階述語論理」を拡張した「等号を含む一階述語論理」（つまり数学の体系を作る以前の段階における、論理の体系）の一部です。なので、まず一階述語論理の話からしなくちゃね。一階述語論理で扱う述語A(x)に入っているxを「対象」と呼びますが、それは未定義のままです。"∀"や"∃"も「全ての」だの「存在する」だのという意味は厳密に言えば「解釈」に過ぎなくて、ただそれらの記号を含む命題の操作方法（推論規則）を宣言することによって導入されるに過ぎません。そして"="もまた、未定義用語のまま、ともかく対象同士の関係であって
　　「x=yとは、yを含まないどんな述語A(x)（ただしyを含まない）についてもA(x)とA(y)が同値であること」
つまり
　　「x=y ⇒ (A(x)⇔A(y))」
という公理、あるいは
　　「x=yからA(x)⇔A(y)を推論してよろしい」
という推論規則として導入されます。これは「スキーム」（具体的に述語Aを与える度にAに関する公理（あるいは推論規則）を生成するテンプレート）と捉えます。つまり「無定義用語とその用語に関する公理系」としてすら、今ひとつキチンと書ききれていないわけですが、実際に”＝”を使う場合「x=yである。だからP(x)⇔P(y)である」と推論を行う際に、具体的な述語Pが決まっている限りはトラブルが生じない。そして「任意の述語Pについて…」という言明は一階述語論理における命題にならないから、述語Pはいつも具体的である。そういう仕掛けになってる訳です。
　これが『「非常に胡散臭い」ものとしての"="』と言われてしまうもう一つの理由でしょう。
　なお、なぜ「あらゆる述語について、A(x)⇔A(y)」と言わないのか、というと、述語や命題はそもそも「等号を含む一階述語論理」の対象ではないからです。

　「等号を含む一階述語論理」の対象は何も集合でなくたって、「等号を含む一階述語論理」の体系は（記号列の操作体系として、一切の意味論抜きで）それ自身で完結できます。さて、この体系が決まった後、さらに集合に関する公理（つまり対象同士の関係"∈"（これ自体、やはり未定義用語）に関するいくつかの公理）が追加されます。こうして「対象」が従う公理を与えることによって、対象が集合に限定され、かくて、これらの公理系全体が定めるものが（ZF公理系で言う）数学の体系という訳です。

　一方、大抵の二項関係は、ある集合X上で定義されます。すなわち、Xの要素の対から成る集合X×X = {<x,y>|x∈X∧y∈Y}について、X×Xの部分集合R⊂X×Xを二項関係と呼び、aRbとは<a,b>∈Rのことである。
　ですから、"="（および、その否定である"≠"）は大抵の関係（固定された集合R⊂X×Xとして定義される関係R）とは別格であり、公理（実はスキーム）によって意味が定まる未定義用語である。数学以前の段階から導入されており、「等号を含む一階述語論理」の対象になるもの全て、その論理で書ける述語全てに通用する。以上のような事情を、このご質問では「ワイルドカード」と呼んでみたわけです。　（なお、"="の他にもR⊂X×Xとしては定義されない（つまり「大抵の関係」ではない）関係Rがあります。たとえば、"∈"、"∉"、"⊂"、"⊄"、また、超限順序数同士の大小関係。）

　大抵の分野で扱う対象はある集合Xに属する集合だけに限定されています。（例えば、自然数だけの話なら、対象は自然数の集合Nに属する集合（0=∅, 1={0}, 2={0,1}など）に限定される。）だから、関係もX上の関係に限定して（R⊂X×Xとして）定義できます。しかしその際にも「ワイルドカード」"="を（"≠"も「"="の否定」として）そのまま使い続けるのが普通であろうと思います。
　「いーや、"="をX上の関係（例えば具体的な順序関係）と全く同格に扱いたい」というので、"="と"≠"をX上に限定した関係（=', ≠')を定義するなら、それぞれは集合
　　=' ={<a, b> | a∈X ∧ b∈X ∧ a=b}
　　≠' ={<a, b> | a∈X ∧ b∈X ∧ a≠b}
で定義されることになるでしょう。すると、
　　≠' = (X×X)＼='
なので
　　(a∈X ∧ b∈X) ⇒ (a =' b ⇔ a=b)
　　(a∈X ∧ b∈X) ⇒ (a ≠' b ⇔ a≠b)
　　(a∈X ∧ b∈X) ⇒ (￢(a =' b) ⇔ a≠' b)
だから、「X上の話だ」という断り(a∈X ∧ b∈X)を入れれば≠' は=' の否定である。しかし、
　　a=' b ⇔ (a∈X ∧ b∈X ∧ a=b)
　　￢(a ≠' b) ⇔ (a∉X ∨ b∉X ∨ a=b)
　　a≠' b ⇔ (a∈X ∧ b∈X ∧ a≠b)
　　￢(a =' b) ⇔ (a∉X ∨ b∉X ∨ a≠b)
なので、「X上の話だ」という断りがないと≠' は=' の否定ではない。
　このあたりで混乱しないためには、≠' や=' はいつも「X上の話だ」という断りを付けて使うことになります。が、いつもそんな断りを付けるんだったら、='や≠'をX上でわざわざ定義したところで、=および≠と何の違いも出て来ません。
　これが、「ワイルドカード」"="と"≠"をそのまま使い続けるのが普通である理由だろうと思います。

回答No.51

MagicianKuma

私は、単なる数学好きのおやじで、低レベルのところでなんとか皆さんについて行こうとしているだけです。
≠が二項関係とも考え得るなんて思いもしませんでした。なるほどねぇ。勉強になりますねぇ。
x≠yは￢(x=y)の略記号とばかり考えていました。実のところ、＝に対する認識もあやしいものです。
「ワイルドカード」ですかうまいことをいいますね。哲学的です。こんど哲学専攻だった連中に聞いてみましょう。

回答No.50

B-juggler

ちょっと気になったので、１つだけ。

みんな向いている方向は一緒なんです（だとおもう）。

ただ、方法が違う・・・。これは好くあるでしょう？数学では。

問題の解釈の仕方が違うから、登るルートが違う＾＾；？？　ってだけだとおもう。

それが記号論で行かれてあるのか、言葉で行っているのか、

その差でしかないとおもう。

＝　と　≠　の違い　（ワイルドカードなのか、二項関係なのか）や

　＃ここはσ(・・*)は　二項関係とおもってました。代数学屋だし

イプシロンーデルタ論法を使うかどうか、

　＃これはσ(・・*)は使えない。分からないのと、なんかまずいことがでるんでしょう？

　＃だから使わないでいました。もっと云うと、使えるほど知らない＾＾

　＃ｓｔｏｍａｃｈｍａｎ先生くらいになられると、
　＃間違っているところもわかってあるのでしょうから
　＃使われることに何の弊害もないのでしょう。　σ(・・*)には無理だ

などなど、方法論として　違うだけで、結論が大きく違うってことは、そうないでしょう。

ただ、これはちょっと分かれてますか。

＞∀x∈R,∀y∈R(x≠y ⇒ x/y≠1)が偽と考えられている方にお願いです。（案件）
＞（質問者も偽という意見ですよね）

Ｎｏ．４７　ＭａｇｉｃｉａｎＫｕｍａ　さん（すいません、この前お名前間違えてました）。

これはσ(・・*)も真だとおもう。

（ｘ，ｙ）＝（１，０）でも、　（ｘ／ｙ）　＝　（１／０）　こうなりますね。

このときに、この値は実数ではないけれど、　（ｘ／ｙ）　を実数としなければならない、

とは書いてないよね？

　＃加減乗算は　実数になる補償ができるけど、除法はダメでしょう？

　＃そこで定義がされていないからね・・・。

（１／０）は少なくとも　１　ではないのだから、含意の結論は成立しているとおもうんだ。

　＃ここ、ｓｔｏｍａｃｈｍａｎ先生と違っちゃう。

ここをどうするかとか、そういうことなんじゃないかな？

ｐ＝ｘｙ　∈Ｒ　とすると（仮にｙ＝０でも）

（案件）の含意を

ｘ≠ｙ　⇒　ｐ≠ｙ　（ｐ＝ｘｙ）　

とできるのかな？　（出ているのは全部実数ね）

そもそもこうできるのか。＃０の乗法になっちゃうわけです・・・。

ここら辺で、イプシロンデルタの威力が発揮されるんだろうけれど、

σ(・・*)にはそれがない＞＜

これを、暗黙の了解とか抜きで、Ｒ＊　←　（０を除く実数って奴ね）

だったら確実に真でいいとおもうんだけどな。

Ａｌｉｃｅ　先生と　Ｓｔｏｍａｃｈｍａｎ先生は　雲の上を歩いてらっしゃるから、

付いて行くのが難しいけど、何とか引っ付いていけるように、勉強だね～。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

１つこれはたたき台。多分間違ってる＾＾；　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

連休これで潰れるかな？

回答No.49

stomachman

ANo.44へのコメントについてです。

> ∀ε＞0、∃δ＞0、s.t.∀x∈R、0＜|x-a|＜δ⇒|f(x)-b|＜ε


　略記法にしたって"s.t."は全く余計ですよね。「(Rや| |や＞や0はもちろんの事）、fがどういうものかということについて既に話が出来ているものとして」という前提でなら、
　　∀ε((ε∈R ∧ ε＞0) ⇒ ∃δ(δ∈R ∧ δ＞0 ∧ ∀x(x∈R ⇒ ((0＜|x-a| ∧ |x-a|＜δ)⇒|f(x)-b|＜ε))))
と書けます。さて、こういう書き方ができるためには、ε∉Rのときでも ε＞0の真偽が定まらなきゃならない。
　　∀ε((ε∈R ∧ ε＞0) ⇒…
の部分を
　　∀ε(ε∈R ⇒((ε＞0) ⇒…
と書き、こうすればε∉Rのときにはε＞0を見なくて済む（だからε∉Rのとき ε＞0は「真でも偽でもない」とか「そもそも命題ではない」と言える）かのように仰る方があるように思います。しかし a ⇒ b は ￢a∨b と全く同義である、ということを認めるなら、こんな書き方をしたところでやっぱり、 ε＞0が命題でない（真偽が定まらない）ならば式全体も命題にならない、という事情には変わりないと分かるはず。また、
　　∀ε∈R, (ε＞0⇒…
という書き方は、略記法を使う事によって、そのあたりを曖昧に済ませようってことでしょう。あたしゃ、これが嫌いなんですが。（笑

> 　通常は上の形で書かれる事が多そうですが、それは、ε＞0を見ただけで、読者はε∈Rを補うような約束があるのでしょうか。

　約束なんかありゃしないでしょ。（引用なさった式はwikiの極限のページにはどうも見当たらず、確認できませんでしたが、）大抵、式が出て来るより前に、何らかの前提が文章などで書かれているものです。（ま、所詮wiki、ということもありますが。）たとえば、「これは実数の話だよ」と書いてあれば、特に実数でないと明記されていない変数はみんな実数だと思って読む、という程度のことなら、ま、「普通」の「習慣」でしょう。

> そうなら、x/yを見ただけで、x/y∈Rとかy≠0を補うような約束があることにはならないでしょうか。

　もし仰る通りだとするなら、答案に「x/y」と書いてあるのを見ただけで、採点者はx/y∈Rとかy≠0を補って読んでやる、ということです。そんなことを教えられた生徒が後で泣くことにならねばいいけど。

> 　lim[x→0]xsin(2/x) / sin(1/x)


 　x=1/(nπ) (n∈整数)の場合がヤバいという話ですね。|f(x)-b| はx=1/(nπ) のときには定義されず|f(x)-b|＜εが偽になり、だから最初にお書きの「極限の定義」によれば、
　　∀x∈R、0＜|x-a|＜δ⇒|f(x)-b|＜ε
はε,δがどんな実数であっても偽になりますね。が、この「極限の定義」には実は「fがx=aの近傍のx=a以外の全ての点で定義されるとき」という但し書きが付いてる。
　一方、「極限値tの任意の近傍Uに対して、 x=a の近傍Vを適当に取ると、 f(V∩D＼{a})⊂U とできる（Dはfの定義域）」というのは、 lim[x→a]f(x)=t のもすこし一般的な定義です。するとこの例では
　　D=R＼{x|∃n(n∈Z ∧ x=1/(nπ)}
の中からその「適当な近傍V」を選べれば良いということになります。
　で、「通常はどちらの解釈をするか」というご下問に対する答はというと：

　こういうヤバいときには「通常」なんてものをアテにしては断じていけない。「一体、どういう極限の話をしてるんですか！？」と出題者に詰め寄るのが正しいアプローチでありましょう。

> stomachmanさんは、No.11で、x/y＞1を、

> ∃p(p=x/y ∧ p＞1)　…(1)

> ∀p(p=x/y → p＞1)　…(2)

> と二通りに解釈されていますが、結局は何通りなのでしょうか。

　すいません。回答した時点では、設問の曖昧さの根源がどこにあるか、また他のヲタさんたちの見解がどうか、まだはっきりしてなかったため、話がピンぼけになってたです。
　設問全体をどう読むか（自然言語から、どういう命題に変換するか）という話の中での説明なんですが、読み返してみると流れがはっきり見えないですよね。ことに「x/y＞1」という一部分だけ取り出して式を示したのは不適切な説明の仕方でした。これらの述語のどれをどのように論理式に組み込むかで、（たとえ答が同じであっても）題意の解釈が違って来る。曖昧さに乗じて解釈はいろいろ作れるでしょうが、作るほどにどんどん異論が多くなって行くでしょう。
　しかし要点は、「自然言語で一見きちんと書けたように見える文章でも、ほじくってみると結構危ういことがあるよ」ということです。「普通はそうは読まないでしょ」「揚げ足取りをするな」「常識で考えて…」というような言い訳は、ある意味で「言語の体系」とも言える数学においては、通用しないこともままあるわけです。
　それはさておき、一連の議論の結果、（"/"ばかりでなく）"="と"≠"をどう読むか、という所にも危うさがあるらしいと分かってきたように思います。これはあんまり意識したことなかったです。

> semanticsなんたらという意味は

　「意味論」という意味です。記号論理において、"1/0"を含む文字列を、文法的に正しい記号の列として受け入れるかどうかという問題と、それが一体何かを意味するのかどうか、命題になっているのかどうか、という問題とを区別して、前者を構文論syntax、後者を意味論semanticsと呼んだ訳です。（なお、「習慣」の方は、語用論pragmaticsと呼ばれる概念に近いように思います。どれも言語学の用語ですね。）

>　x∈R∧y∈Rは補ったのに、x/y∈Rというのを補わない理由は

　まじめな出題者なら、x∈R∧y∈Rという条件は必ず設問に書きますよ。書いてないのを補って読んでやるのは、手抜きの出題者に対するサービスに過ぎません。それを解答者の義務のように考えるのは本末転倒、（倫理的な意味での）間違いでしょう。（そういう迂闊なことをやらかした教師を教室で吊し上げる祭が学生たちの楽しみだった時代もあるんですぜ。）そして、つまらん練習問題でも手抜きをしない真摯さのことを、出題者や教師の「矜持の問題」と言ったのです。

>　∀x∀y((x∈R∧y∈R∧x≠y)→ (x/y∈R∧x/y≠1))は偽

> ということでよろしいでしょうか。

　もちろん。y=0のときx/yは実数ではないからです。

> (1,0)∈{(x,y)∈R^2|x/y≠1}
> ですか？

　これは意見が割れたところですね。ANo.48, 46, 43をご参照あれ。


> {(x,y)∈R^2|x/y≠1}と{(x,y)∈R^2|x/y＜1∨x/y＜1}

> は同じ集合ですか？違う集合ですか?

　前者は(ANo.43のように）≠をワイルドカード=の否定として読むとR^2と同じになり、（ANo.46, 48のように）≠を実数上で定義される二項関係として読めばR^2＼{(x,0)|x∈R}と同じです。
　話が割れるということは、つまりこれもまたヤバい状況なのですから、「一体、どっちの意味で書いてるんですか！？」と詰め寄られることを出題者は覚悟せねばなりませんなー。

　後者は{(x,y)| (x,y)∈R^2 ∧ (x/y＜1∨x/y＞1)}のミスタイプでしょうか。これはR^2＼{(x,0)|x∈R}と同じで、こちらに関しては意見の相違はなかったように思います。

お礼

感謝いたします。しかし恐れ入りますが、極限の定義の論理式

∀ε((ε∈R ∧ ε＞0) ⇒ ∃δ(δ∈R ∧ δ＞0 ∧ ∀x(x∈R ⇒ ((0＜|x-a| ∧ |x-a|＜δ)⇒|f(x)-b|＜ε))))

はちょっと違っているのではないでしょうか。

∀ε((ε∈R ∧ ε＞0) ⇒ ∃δ((δ∈R ∧ δ＞0) ⇒ ∀x(x∈R ⇒ ((0＜|x-a| ∧ |x-a|＜δ)⇒|f(x)-b|＜ε))))

が正しいのではないでしょうか。なぜなら、僕の論理式で否定(極限が収束しない)を考えると次のようにうまくいきそうだからです。

∃ε((ε∈R ∧ ε＞0) ∧ ￢∃δ((δ∈R ∧ δ＞0) ⇒ ∀x(x∈R ⇒ ((0＜|x-a| ∧ |x-a|＜δ)⇒|f(x)-b|＜ε))))

∃ε((ε∈R ∧ ε＞0) ∧ ∀δ((δ∈R ∧ δ＞0) ∧ ￢∀x(x∈R ⇒ ((0＜|x-a| ∧ |x-a|＜δ)⇒|f(x)-b|＜ε))))

∃ε((ε∈R ∧ ε＞0) ∧ ∀δ((δ∈R ∧ δ＞0) ∧ ∃x(x∈R ∧ ￢((0＜|x-a| ∧ |x-a|＜δ)⇒|f(x)-b|＜ε))))

∃ε((ε∈R ∧ ε＞0) ∧ ∀δ((δ∈R ∧ δ＞0) ∧ ∃x(x∈R ∧ ((0＜|x-a| ∧ |x-a|＜δ) ∧ |f(x)-b|≧ε))))

僕は、論理式に分数表記があるときの解釈の実例をネットの論文から探そうとして、極限のεδ論法を中心に検索したのですが、stomachmanさんのように記述しているのは見当たりませんでした。これは、大学で極限の定義をεδ論法で厳密に習うといわれながら、実は、そこでの記述もあいまいさを伴っていることに気づきました。
僕は昨日まで
http://ja.wikipedia.org/wiki/イプシロン-デルタ論法
の表記こそが厳密だと勘違いしておりました。
そこでは、「関数 f(x) に対して極限の式lim[x→a]f(x)=b」と書かれていたために、僕は、
lim[x→0]xsin(2/x) / sin(1/x) =0
と計算してしまい、勘違いの結果となりましたが、English版だと、
Let ƒ be a function defined on an open interval containing c (except possibly at c) and let L be a real number.
と前置きが書いてありました。つまりstomachmanさんもおっしゃるように、
lim[x→0]xsin(2/x) / sin(1/x)は、関数が0を含むどんな開集合(0は除く)でも定義されないので、極限は考えない。
表記のあいまいさは、勘違い、すれ違い、混乱を誘発することをつくづく実感いたしました。反省いたします。

今回の質問の最終結論は、
＞「自然言語で一見きちんと書けたように見える文章でも、ほじくってみると結構危ういことがあるよ」ということです

とおっしゃる通りだと思います。

回答No.48

stomachman

#46 <

> 彼の遣り口

　ったく、人聞きの悪い…（藁

> x/y が未定義であっても

> x/y≠1 は定義されているように、≠ のほうを改変しよう

　なるほどそうとも解釈できますね。
　しかし、トリック使ったつもりは全然ないんですよ。というのは、実はstomachmanが"=", "≠"と書いたらそれは全部ワイルドカード（すなわち、集合としての構成にまで戻って外延の公理による同一性を問い詰めずにはおかないという意味での等号）なんです、いつでもね。（たまに命題を=で繋いだりするのは、「数理論理学的な意味で命題を集合によってモデル化したものと見なしてやっぱりこのワイルドカードを適用している」のだが、そんな(ヲタな)こと誰も興味がない。）

　ともあれ、ワイルドカード=,≠以外の、実数上のどんな二項関係Yを持ってきたって
　　∀x (x∈R ⇒ ￢(1/0 Y x)) 　(なぜなら1/0は実数ではないから)
である。これは「未定義のモノが二項関係の成立例になる訳ないだろ」と読めるし、また、ANo.43みたいに(ヲタな)証明も出来る。
　で、（≠単独じゃなく）≠と=とをセットで「ワイルドカードとは別物の、実数上の二項関係」と見るのであれば、話に一貫性がありますね。（相手が複素数の場合には、また別に複素数用の≠と=とを定義し直す。とは言っても、やることはワイルドカードに定義域の制限を付け加えるだけなんだから、実に簡単。）この流儀で行くと、
　　1/0＞2　は偽、
　　1/0=2　も偽、
　　1/0≠2　も偽。
　後の二つを見れば、a≠bは￢(a=b)のことではないと分かります。（stomachmanには、これこそがトリックっぽく見えるのだが、ま、それは「習慣」の問題なんだろう。）ことに最後の一つが、ワイルドカードと解釈した時のANo.43の(ヲタな)結果と違うんですね。

> x,y を実数として、x/y と 1 を比べようというからには、

> x/y＝1 の ＝ は、本来、実数としての ＝ でなければならないはず。

　「x,y を実数と」するところまでは良いけれど、「x/y 」が実数ではあり得ないんだから、なんとかそれと「 1 を比べようというからには、x/y＝1 の ＝ は」その時こそワイルドカードの(ヲタな)本性をムキダシにするしかないのでは？　と考えるのがstomachman的(ヲタな)「習慣」らしい。

　いやー、恐ろしいですねえ。だからこそ「0で割っちゃ駄目」「場合分けしなさい」としつこく教えなくちゃいけないし、うっかり穴あき問題をテストに出さないように(ヲタな)注意もしなくちゃならんのでしょう。（つまりは、現場もヲタに無関係では居られない、ということですね。）

> 迷える質問者を案内するときと、数ヲタ同士でじゃれ合うときが、

> 同じ語り口では、誤解する人もでてしまうかと思う。気になる。

　今回の質問者氏に限っては実力充分と見てますし、ヲタどころかそれでメシ喰ってるプロなら尚更で、少々ヲタヲタしても構わんのではなかろうかと。

　高校生のほとんど全員がかようなヲタ話に興味を持たないとしても、しかし、その中から将来の大数学者が必ず出るのだと思えば、教える現場も真剣ならざるを得ないだろうな、と期待してますが。

回答No.47

MagicianKuma

∀x∈R,∀y∈R(x≠y ⇒ x/y≠1)が偽と考えられている方にお願いです。（質問者も偽という意見ですよね）
偽であれば、上記が成立しない反例があるはずですよね。それを教えてくださいませんか。
例えば、x=1,y=0なのでしょうか？
私は一貫して上記は真という立場ですから、反例はありません。

お礼

ありがとうございます。

僕は論理式にうとくて、stmackmanさんのようには論理式で、誰もが疑いもないようなことはかけません。僕自身も混乱の最中です。解釈の違いが原因とは思いながら、その細かいところが分かっていません。

No.46のalice_44さんによると、
≠ の ＝ を実数の二項関係とみなすと、
（1/0≠1）つまり (1/0＜1 ∧ 1＜1/0) は、もともと1/0が実数でないことから偽で、よって、
∀x∈R,∀y∈R(x≠y ⇒ x/y≠1)という偽の命題の反例は、x=1,y=0

この解釈で、もとの質問も同様に、
x＞yならばx/y＞1　が偽であることの反例：x=1、y=0

≠ の ＝ を集合論の関係、実数二項関係、つまり、「ワイルドカード ＝」とみなすと、
1/0≠1、実数でない集合の要素と実数の集合の要素は異なることから真で、結局、
∀x∈R,∀y∈R(x≠y ⇒ x/y≠1)という命題は真。

この解釈は、もとの質問にはなかった新しいタイプ。

回答No.46

alice_44

迷える質問者を案内するときと、数ヲタ同士でじゃれ合うときが、
同じ語り口では、誤解する人もでてしまうかと思う。気になる。

今回の問題は、シラフで考えれば、
y≠0 が保証されない文脈に x/y を置いた論理式は、
未定義の記号を使っているのだから、命題ではない
…以外の何物でもない。

ただ、それではミもフタもないから、何か面白いこと言わなくちゃ
…と、サービス精神だか強迫観念だかに駆られた
お調子者が２～３名いた訳だ。

それをする上で、stomachman氏と私のアブローチは、よく似ていて、
x/0 を定義してしまうのではなく、x/y が未定義であっても
x/y≠1 は定義されているように、≠ のほうを改変しよう
と考えたことになる。

私のほうは、未定義のモノが二項関係の成立例になる訳ないだろ
…という、かなりウッチャリ加減の方法。
良く言えば直感的だが、ほとんど芸がなく、正直あまり面白いくない。

彼の遣り口は、≠ の ＝ を、実数の ＝ から
集合論の ＝ にすり替えてしまおうというもの。
何度か登場した「ワイルドカード ＝」という言葉は、それを表している。
集合論の ＝ は、単なる合同関係ではなくて、二項関係どころか
集合すらまだ定義されない時点から、「対象」の異同として
与えられている、非常に胡散臭いが、無しではすまない何か。
x/y≠1 の ≠ を、この妖しげな ＝ の否定と見れば、
話は A No.43 の通りとなる。しかし、これにはトリックがある。
x,y を実数として、x/y と 1 を比べようというからには、
x/y＝1 の ＝ は、本来、実数としての ＝ でなければならないはず。
実数の ＝ は、順序体の ≦ から (x＝y) ⇔ (x≦y ∧ y≦x) で
派生する、単なる実数上の二項関係であって、
記号は同じでも、「ワイルドカード ＝」とは違うモノなのだ。

我等が愛するカントールの楽園だかヒルベルトの煉獄だかの世界では、
その二つの区別が、何だか曖昧にされているのだが。

お礼

ありがとうございます。

僕は論理式にうとくて、stomachmanさんの壮大なご回答の半分は理解できず、混乱気味でもあります(僕以外にも混乱している人はいるようです)が、alice_44さんのバランスのあるご回答で、みなさんの混乱も多少はおさまればいいと思っております。
「ワイルドカード ＝」の話は、stomachmanさんから聞いたときはよく理解できなかったのですが、alice_44さんから聞いたときは少し分かった気がします。
このように一度聞いただけでは分からないことも多いので、同じことを何度も述べていただくことはありがたく思います。

回答No.45

B-juggler

横からすんません。久しぶりに。ずっと読んではいるけれど、かなり高度！

高校で教えるレベルではなくなっている。

高校の先生になった人が、学生時代にやっておいたはずの理論的な話しを

今聞きなおしている形になっちゃっている気がしてます。

　＃これは、σ(・・*)もそうなんだけどね。　現役かそうじゃないか？の差でしかない。

まず、ちょっと自分のところ。さかのぼって、Ｎｏ．２９なんだけど、

含意はダイジョウブなんだよね。これがでてるから。

＞＞　（p⇒q）⇔｛（￢p）またはq｝

ただ気をつけて欲しいのは、命題として真か偽　について見る道具というか、

もちろん、ここから結果を出しても構わないけれど、実際に命題入れた方がいいと思うけど。

ｘ≠ｘ　⇒　ｘ≠ｘ　で好いから。その上でちゃんと読めているのかどうかは見えるとおもうから。

　＃それこそ、表層上滑りになりそうで怖いんです。

遅ればせながら、＃３２のＡｌｉｃｅ　先生に乗ります。ｍ（＿　＿）ｍ

明記していないののまずさと言うのがあって、こういうことが全てそうなんだろうけど、

～～
x≠yならばx/y≠1

という命題において、僕はy≠0というルールを右辺だけに補うという解釈なのですが、
人によっては、
「仮定ならば結論という命題はひとつにつながったもので、右辺だけに適用するのはおかしい。
げんに、対偶をとれば左右が逆になるではないか。
なので、y≠0というルールは両辺全体に適用する」という解釈なのです。

　＃これは　３５　へのお礼にありますね。

＞y≠0かつを補う必要性も補ってよい理由もまったく考えられません。

僕にとって領域や集合が念頭にあります。
x≠y ⇒ x/y≠1
が真か偽かと聞かれたとき、
{(x,y)∈R^2|x≠y}⊂{(x,y)∈R^2|x/y≠1}
が成り立つどうかと同値と考えます。
{(x,y)∈R^2|x/y≠1}の領域をxy平面に描くのに、y≠0を補って描きます。
その点もMagicianKumaさんと解釈が違うのでしょうか。

　＃これは　３７　へのお礼のところです。

x≠yならばx/y≠1
は真か偽か？
とあったら、僕は、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔
　∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（y≠0かつx/y≠1）｝⇔「偽」
と考えるのですが、人によっては対偶を考えて、
∀x∈R、∀y∈R｛（x≠y）⇒（x/y≠1）｝⇔
　∀x∈R、∀y∈R｛（x/y＝1）⇒（x=y）｝⇔「真」
と考えるようなのです。

これはいろいろなところにあります。　３２　以降に時々出てます。
～～

少なくともこの三つは、あなたにしか分からないことなんです。

書いてもらわないと分からないこと！　後出しされても、こっちも困るんで・・・。

上の例だと、命題全体に及ぼしていないと（ｙ≠０がね）何がしたいのか分からない気がするし、

中はね、ｘｙ平面上では（∀ｘ，０）は特異点だよね。（この場合）

だから命題の中でも、除去しないといけない。これは通用する話しなのか？

一番下は、どうなっているの？両方危ない気もするし・・・
（＃３５のｓｔｏｍａｃｈｍａｎ先生のが、一番しっくり来るよなぁ～）

こういうことにならないかな？

別件。
対偶の話で、なんか訂正してあるけど、Ａｌｉｃｅ先生が書き間違いをしてあると思いますよ。

No.36のalice_44さんによると、
曖昧さに原題より更に意見が割れるでしょうが、私としては、
対偶は、｛（x/y＝1 または y≠0）⇒（x=y）｝ と読むべきで「偽」

Ａｌｉｃｅ先生は「偽」とは書いてないよ＾＾；　勝手に足しちゃダメだよ＞＜

（または　ｙ＝０）　です。　Ｎｏ．１９で　Ａｌｉｃｅ先生　＝　で書いてあるよ。

ＭａｇｉｃｉａｎＫｍｕａ先生
ｓｔｏｍａｃｈｍａｎ先生
Ａｌｉｃｅ先生　　お三方が、この領域とんでもないから、

いい機会だから、好く聴かれて、「教える立場」になられているんだから

次の世代にちゃんと伝えてください。

σ(・・*)はもうやれないからね。　（声がね、ダメなんだ＾＾；）

自己満足で　勉強させてもらっておこう。(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございます。確かに高度な内容ばかりで、僕は単なる解釈の違いと思うのですが、

ＭａｇｉｃｉａｎＫｍｕａ先生
ｓｔｏｍａｃｈｍａｎ先生
Ａｌｉｃｅ先生
B-juggler先生
僕

それぞれの意見の違いも分かりにくくなってきました。
第三者がこの掲示板を読んで、最後には意見が収束するようにまとまった形になるように協力いただけるとありがたいです。