数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.13

MagicianKuma

「反例として良い」に一票いれます。

別例として　0≦x≦1 ならば 1/x≧1　の真偽を問われたとき、私ならこの命題は偽と答えます。　
なら具体的な反例はと聞かれたときx=0と答えるしかありません。

お礼

ありがとうございます。

＞「反例として良い」に一票いれます。

一票という表現は、他の意見もあるということを認識している中で、ひとつのご意見を述べるとしたらという前置きだと認識しています。

それでも、
「自分の解釈としての意見の投票」
と
「(自分の解釈は別にして)他の多くの人が投票するであろう意見の予想」
という意味があると思います。どちらなのでしょうか？

あ、このようにお礼を書いている時点で、「(物理の作用反作用のように)すべての意見には逆意見があるものだ」「意見という言葉の裏にはつねに、ひとつにまとまらなという意味があるものだ」と、ひねくれている自分に気づきました。

回答No.12

ringohatimitu

ざっと問題を見た感じ、私が採点するのであれば「問題は多少曖昧であるが生徒側が0で割ることの意味を理解しているかどうか怪しい」と察知して×にしますね。
私自身様々な答案を採点したことがありますがこちらの予期せぬ答えが書いてあることも多いです。
この手の問題を考えるときにはy≠0を暗黙のうちに仮定するかあるいはきちんと明言しておくかのいずれかでしょう。そういった意味で問題作成側にまず不備がある。そして生徒側の理解によっては生徒側にも不備がある。場合によって両成敗。y=0を与えた生徒がきちんと論理的に説明出来るのであれば個別面談でもして○にすればよいでしょう。生徒数が多すぎてそのようなことが出来ないのであれば今回はとりあえず×にして次回以降は作成側が気を付ける。これでどうでしょうか？
これは教育上の問題であって論理云々の話ではないような気もしますけど。。

論理で突き詰めていけばきりがありません。結局最後のところは基礎論まで遡らなければなりません。
しかし、それが本当に生徒の為になるでしょうか？しかも高校ですよね？
質問を見てすぐ感じる印象は「講師側の自己満足」です。
質問者さんが基礎論の専門家で論理の追求をしたいのであれば別です。一数学愛好家、数学者としてその問題文を突き詰めることは大いに結構です。
しかしながら、背景には高校の試験があると仰っている以上、説明しても大半の生徒が興味を持たないであろう論理的な仕組みを追求するよりもこの場合はどうすれば生徒の「教科書の事柄の理解度を計る」ことが出来るかということに専念したほうがいいのでは？

私も周りに数学屋が結構いますが同じような話題が時々出ます。色々な方がいますが数学で優秀な方でもきちんと教育的な見方を別途出来る人がいます。個人的にはそのようなスタイルを尊敬しますね。
蛇足ながら、文脈からはこのようなある種「揚げ足取り的な」議論は基礎論などは別として数学の本質からは離れていると思ってしまいます。

お礼

まことにご意見をありがとうございます。

＞y≠0を暗黙のうちに仮定するかあるいはきちんと明言しておくかのいずれかでしょう。そういった意味で問題作成側にまず不備がある。

というご意見には賛同いたしかねます。問題作成においては、習慣とか常識の範囲で、高校のテストという場面でなんら不備はないものと思っております。げんに、ここでの回答者の方々から、反例として正解か不正解かというご返答を、明確にいただいております。

＞「講師側の自己満足」

これはおっしゃる通りと思います。
数学というのは答えや意見がはっきりと分かる学問と思いますが、それでも意見が分かれる話題がネット掲示板で時々話題になります。
不思議なことに、優秀な方々が、まぎゃくのことをおっしゃいます。
今回はその話題のひとつだと思います。

回答No.11

stomachman

ANo.4ですが、微妙なところを考え直したら結論まで変わりました。

　実はANo.4を書きながら気になってたんですが、『「もしx/yが存在するならそれ(p)」と1との順序対<p,1>について
<p,1>∈＞
だ』という言明は、ちょっと曖昧さを持っています。というのは：
　x/yが存在するならそれが一意的である、ということなら、 x/y＞1 は
　　∃p(p=x/y ∧ p＞1)　…(1)
で曖昧さはない。しかし、それが存在するなら一意的、ということを特に前提にしないなら、
　　∀p(p=x/y → p＞1)　…(2)
となるべきでしょう。
　さて、x=1, y=0の場合、論理式(1)は偽であるけれども、論理式(2)は前件p=x/y を満たすpがないために真になる。

　つまり、両派の食い違いは、（pを導入するかどうかではなくて）「x/y＞1 を(1)(2)のどっちの意味で言っているのか」という点にこそ集約されるように思います。

　体における除算/は積×について z × x=y の解zに一意性があるときにだけ定義されるから(1)だ、

というのも尤もだし、

　体の除算/といわず、単にR×R上のひとつの演算と見れば(2)じゃないか、

という意見も尤もだという気がします。

　かくて結論は同じでも、その理由が変更になりまして、まず、

　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→∃p(p=x/y ∧ p＞1))
を問うのなら反例になっているし
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→∀p(p=x/y → p＞1))
を問うのなら反例になっていない。

と、ここまでが論理（ゴンベン）の話である。さて、

　どっちを問うているのかは、解答者ではなく出題者側が予め明確にすべきだった。どっちとも取れる問題文である以上、出題に不備があったのであり、だから答案には○を与える。

と、これは倫理（ニンベン）の話である。
　No.1さんの仰る「（教育課程としての）数学の問題（答案は○か×か）」と「純粋に論理の問題（真か偽か）」とのズレがここに現れた、ということかなと。

お礼

ありがとうございます。

stomachmanさんも、No.4とNo.11で変化があったということだし、
No.11で、

＞ANo.4ですが、微妙なところを考え直したら結論まで変わりました。

＞かくて結論は同じでも、その理由が変更になりまして、まず、

とおっしゃる二つの文が矛盾しているようにも読めるし、
出題に不備があったというのであれば、他の方もその点だけを指摘して、○×判定はできないというご返答でもいいはずなのに、
優秀な皆様もそれなりに、「×にしますね。（No.12様。）」「だから答案には○を与える。(No.11様。）」とまぎゃくのご意見をおっしゃる。

僕は、数学の記述には、誰もがほぼ共通の解釈ができると思っているので、混乱します。

回答No.10

tmpname

>No.9さん

うん、だからこれは「x>yなる任意のx,yに対して、『x/y>1』という式は『必ず真か偽か評価できて』かつ正しい」と見るのが当然で、y=0はやはり反例です。

お礼

ありがとうございます。

回答No.9

think2nd

そもそもｆ："x＞yならばx/y＞1"　って、命題なのですか?
真か偽か分かる文章を命題と言いますから、　x=1、y=0はfが命題でないことを示している例に過ぎないんじゃないですか。

お礼

ありがとうございます。

テスト問題として。
x＞yならばx/y＞1　の真偽を調べよ。

なんら不備はないと思っています。

回答No.8

tmpname

普通に考えれば「x/y>1」というのは
「x/yが定義できて、且つx/y>1を満たす」という事。

つまり、
「x>yなる全てのx,yについて、「x/y>1」という式は
真か偽か必ず評価できて、且つ真であること」
と解釈するのが当然であるから、y=0というのは当然
反例です。そもそも「x>yかつy≠0」と書いていなかった
問題が悪い。

例えば「x≧0なる全ての実数xに対して√(1-x^2) ≧0が成り立つ」
という命題があったら明らかに「おかしい」と回答するでしょう？

お礼

ありがとうございます。

実は、僕の意見も、tmpnameさんと同じで、
x＞yならばx/y＞1
が偽であることの反例x=1,y=0、と書いた答案は正解
なのです。

ただ、問題が悪いというご意見とは異なる意見を持っています。

(1)。x>yを満たす領域を図示せよ。
(2)。x/y>1を満たす領域を図示せよ。
(3)。(1)を満たす領域上の点で、(2)を満たさない領域上の点をひとつ述べよ。

をいう問題文は、高校数学において、まったく不備はないと思います。

しかし、もとの質問文において、ネットでもご意見が分かれるのです。
優秀な方々が、それぞれまぎゃくのことをおっしゃるのです。

恐縮ながら、別問題を考えました。皆様から再度、ご返答いただければ幸いです。

x≠yならばx/y≠1

これは真ですか、偽ですか？
真であるという方はその証明を、
偽であるという方はその反例をどうか教えてください。

回答No.7

funoe

専門家でもなんでもありませんが、「反例として成立している」に一票。

もうすこし単純化して、
命題：∀ｘ∈Ｒ（ｘ／ｘ＝１）　は、「偽」だと思うからです。これを「真」というのはムリ筋では？

言い換えただけで、説得力もなにもありませんね。

お礼

ありがとうございます。

命題：∀ｘ∈Ｒ（ｘ／ｘ＝１）　は、真か偽か？

ｘ／ｘ＝１　
を満たす集合を考え、
｛ｘ∈Ｒ｜ｘ／ｘ＝１｝＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ≠０｝
なので、
命題：∀ｘ∈Ｒ（ｘ／ｘ＝１）　は、偽と思います。

ただ、

ｘ／ｘ＝１　は、真か偽か？

ということであれば、それは

命題：∀ｘ∈Ｒ－{０}（ｘ／ｘ＝１）　

を解釈できるので、真と思います。

回答No.6

noname#159916

No.2補足欄

＞反例：x=1、y=0と書いた答案があった。
＞先生は正解と採点すべきか、不正解と採点すべきか悩んで、議論になった。

という事なら、
「0で割ってはいけない」「分母０の分数は有り得ない」と教えてると思いますので
これに反します。
従って
x/y 式に y=0 と代入する事自体が不適切→「偽である」との説明が不充分→不正解
とするべきだと思います。

＞ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、

数学で「x/y＞1　が偽」といえば、単に「x/y＞１じゃない」とは違うので、
これはちがうと思います。

お礼

ありがとうございます。
umamimiさんが、
数学で「x/y＞1　が偽」といえば、単に「x/y＞１じゃない」とは違うので、
とおっしゃる部分がよく分からないので、次の同値関係のどちらが正しいか教えていただけないでしょか。

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　（ｘ／ｙ　≧　１）

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　ｙ＝０　または　（ｘ／ｙ　≧　１）

どちらが正しいのでしょうか？

恐縮ながら、別問題を考えました。皆様から再度、ご返答いただければ幸いです。

x≠yならばx/y≠1

これは真ですか、偽ですか？
真であるという方はその証明を、
偽であるという方はその反例をどうか教えてください。

回答No.5

B-juggler

Ｎｏ．２，３です。ゴメン。

前のが少しまずい。　Ｎｏ．３の中で　ｘ　の大小がある。

ｘ≧０　と、ｘ＜０　で場合わけしておかなければいけない。

絶対値でやれば早いのかな？

それと、回答者同士で質問なんだけど、

Ｎｏ．４さん。

＞ｐ≠　ｘ／０　

とやってあるから、結果的に

ｙ≠０　とやってあることと、変わりないようにおもいますけど。

任意の　だったり　とある存在　（∀　や　∃）　の使い方は、

σ(・・*)好く分からないけど、こういう問題は、反証を見つけて

ハイ偽です。ってやるものなのだろうか？　というのが先に考えられるのかな？

と、おもうのですが。

σ(・・*)態度を明確にしていないね。基本的に反証を見つけて終わり、というのは

ちょっと違うとおもうんだけど、（ｘ，ｙ）＝（１，０）は、反証として

仮定も成立させることができないとおもいます。

　＃１／０＞１　を証明しないといけない。

　＃そもそも、０で割るのがいいのか悪いのか。σ(・・*)はダメだとします。

なので反証としても、当然ダメ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

ありがとうございます。
B-jugglerさんは、Ｎｏ．３で、

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　（ｘ／ｙ　≧　１）

と書かれましたが、

￢（ｘ／ｙ＜１）　⇔　ｙ＝０　または　（ｘ／ｙ　≧　１）

と僕は思います。

どちらが正しいのでしょうか？

恐縮ながら、別問題を考えました。皆様から再度、ご返答いただければ幸いです。

x≠yならばx/y≠1

これは真ですか、偽ですか？
真であるという方はその証明を、
偽であるという方はその反例をどうか教えてください。

回答No.4

stomachman

∀x∀p(x∈R → p≠x/0)
であることについては異論がないものとするならば、

P:「x＞yならば(p=x/y かつ p＞1)となるpが存在する」が偽であることを示せ

という問題であれば、双方の意見はおそらく「反例として良い」で一致するでしょう。

　さて、実数の順序対の集合R×Rについて、"＞"はその部分集合
　　＞⊂{<a,b> | a∈R ∧ b∈R}
であって、"p＞q"というのは勝手な順序対 <p,q> について
　　<p,q> ∈ ＞
であることの略記だ。という風に捉えれば、
　　x/y＞1
とは、うるさく言えば「もしx/yが存在するならそれ(p)」と1との順序対<p,1>について
　　<p,1>∈＞
だ、ということでなくてはならず、だから
　　∃p(p=x/y ∧ p＞1)
という意味でしょう。（p∈Rという限定は付けない。）

　ちょっと別の言い方をしてみると、x/0は実数でないどころか、数学基礎論で言う「対象」（って、ZF公理系で定義される集合ですが）ですらない。（∵もしそれが対象なら、∃p(p=x/0)であり、されば集合pの性質は何か？）そして、aかbが対象でないのなら順序対{a, {a,b}}も対象ではない。さて、∃pQ(p)　とはQ(p)を満たす対象pがある、と言っているのであって、対象外はハジいている。これを付けることで、述語Q(p)の中で対象かどうか怪しいものpを扱っても事故にならずに済む仕掛けになっている。

　なので、最初に書いた命題 P
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R ∧ x＞y)→∃p(p=x/y ∧ p＞1))
はご質問のstatementと同じじゃないかな。

　以上から、「反例として良い」に一票。

お礼

ありがとうございます。ありがとうございます。

実は、僕の意見も、stomachmanさんと同じで、
x＞yならばx/y＞1
が偽であることの反例x=1,y=0、と書いた答案は正解
なのです。

x/y＞1
⇔xy＞y^2 かつ y≠0 (なぜなら、記述の約束である分母y≠0のもとで、両辺にy^2>0をかける)
⇔y(x-y)＞0 (なぜなら、この不等式から自動的にy≠0がでるので、y≠0はかかない)

そして、
{(x,y)∈R^2|x＞y} ⊂ {(x,y)∈R^2|y(x-y)＞0}
は偽であるが、左辺に含まれて、右辺に含まれない要素のひとつ(x,y)=(1,0)は反例。

と考えるのです。もちろん生徒が理解できているか理解できていないかは無関係で、反例x=1,y=0、と書いた答案は正解にすべきと。

しかし、ここの掲示板を見ても分かるように、ネットでもご意見が分かれるのです。
優秀な方々が、それぞれまぎゃくのことをおっしゃるのです。
問題設定が悪いというのではなく、試験問題としての問題設定も普通にありうるものと思います。

恐縮ながら、別問題を考えました。皆様から再度、ご返答いただければ幸いです。

x≠yならばx/y≠1

これは真ですか、偽ですか？
真であるという方はその証明を、
偽であるという方はその反例をどうか教えてください。