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数学の講師仲間である議論,分母0の反例
こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。 ----------- x>yならばx/y>1 が偽であることを示せ ----------- これを示すのに、 反例:x=1、y=0 というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。 ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。 ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。 どうなのでしょうか。
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ありがとうございます。 > > ⇔y(x-y)>0 (なぜなら、この不等式から自動的にy≠0がでるので、y≠0はかかない) > ここがよく分からんです。もしかして、x/y>1が真であるということを前提にして議論なさっているんでしょうか。もしそうではなくてy(x-y)>0が真でも偽でもありうる、ということなら、y=0でも左辺は計算できて、 0>0 になるだけですが。 僕は、 x/y>1という不等式を解きなさい、領域を描きなさいという問題を想定して、同値変形しています。 (x/y>1)⇔(xy>y^2 かつ y≠0)⇔(y(x-y)>0) そして、質問文の命題は、 ∀x∈R、∀y∈R{(x>y)⇒(x/y>1)}⇔∀x∈R、∀y∈R{(x>y)⇒(y(x-y)>0)}⇔「偽」 x≠yならばx/y≠1 は真か偽か? とあったら、僕は、 ∀x∈R、∀y∈R{(x≠y)⇒(x/y≠1)}⇔∀x∈R、∀y∈R{(x≠y)⇒(y≠0かつx≠y)}⇔「偽」 と考えるのですが、人によっては対偶を考えて、 ∀x∈R、∀y∈R{(x≠y)⇒(x/y≠1)}⇔∀x∈R、∀y∈R{(x/y=1)⇒(x=y)}⇔「真」 と考えるようなのです。 高校数学で方程式や不等式を解け、と書いてあれば、通常は文字の範囲は実数で分母≠0や根号内0以上や真数正は約束と教えるのですが、命題においてその約束がどのように適用されるのかは明確でなく、解釈の違いが生じるようです。