数学の講師仲間である議論,分母0の反例

質問

こんにちは。高校の数学の講師仲間である議論になりました。
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x＞yならばx/y＞1　が偽であることを示せ
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これを示すのに、
反例：x=1、y=0

というのを正解とするのか、不正解とするのか、、議論になりました。

ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論には代入できなくて、判定できなくて、反例としてはよくない、といいます。
ある人は、x=1、y=0は仮定を満たすが、結論を満たさないので、反例としてもよい、といいます。

どうなのでしょうか。

回答No.43

stomachman

#42<

>　1/0>1 は成立しないでしょう？

　成立しませんね。1がふたつあって紛らわしいので
　　1/0>2
でやらせて下さい。もちろん、「0で割ってるから駄目」というのは「成立しない理由」として採用しません。
　まず、普通に
　　12/3＞2
をstomachmanがどう読んでいるかというと、「3倍したら12になるものは、2より大きい」つまり
　　εz(3z=12)＞2
です。しかし1/0＞2では、
　　εz(0z=1)＞2
となって、「0倍したら1になるもの」は、少なくとも実数の中にはない：
　　∀z(z∈R⇒ 0z≠1)
このため、εz(0z=1)は「ナニカある対象」になってしまうけれども、それが
　　εz(0z=1)∉R
であることは分かっています。
　さて、＞がR×R（=実数の順序対<a,b>全体の集合）の部分集合であるということを思い出せば、 z＞2 とは <z,2>∈＞ のことであり、だから <z,2>∈＞ というだけでz∈Rを含意しています。つまり、
　　∀z( <z,2>∈＞ ⇒ z∈R)
なので
　　<εz(0z=1), 2> ∉ ＞
すなわちεz(0z=1)が何であれ、<εz(0z=1), 2>は集合＞の要素ではない。書き換えれば
　　￢(εz(0z=1)＞2)
である。つまり、「1/0>2は成立しない」。

　次に、
　　1/0≠2
をstomachmanが読むと「0倍したら1になるものは、2ではない」つまり εz(0z=1)≠2 です。まず
　　∀z(z∈R ⇒ 0z≠1)
であるから、
　　εz(0z=1)∉R
　までは同じ事。さて、"≠"はR×Rの部分集合ではなくワイルドカード"="の否定であるから、上記の論法は使えません。しかし、話はもっと簡単で、
　　2∈R, εz(0z=1)∉R
であるから、
　　εz(0z=1)≠2
つまり、「1/0≠2 は成立する」。

　まとめると、
○ 1/0>2は成立しない。なぜなら1/0は実数ではないから。
○ 1/0≠2 は成立する。なぜなら1/0は実数ではないから。

> 異なる結論にしてしまうと、部分式の内容に

> 踏み込んで論理式を読んだことになるし、

> P(x/y) を扱うときに困ると思う。

とおっしゃるけれど、恣意的にいじれるようなことではないと思います。

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> adhoc に ∧(y≠0) を付け足したのではなく

とおっしゃるけれども、んー、どうかなあ。
　「P(x/y)⇒y≠0が真である」とは、結局は【"/"を書いた時点で、意味的に考えて分母=0となる場合をうまく排除するように細工する】という(adhocな)規則を使った結果であるものを、因果関係をひっくり返して言っているだけなんじゃ？というのが疑問なんですよ。
　それを考えるために、"/"を書かないようにしたとき何が起こるか調べてみます。というのは、x/yが「zy=xとなるzが唯一存在するときには、それ」という意味でしかないので、(「zy=xとなるzが唯一存在する」が成立たない場合に)意味がはっきり定まらない。そういうものを曖昧にしないで明示的に扱いたいからです。

[1] P(x/y)とはP(εz(zy=x))のことだと見るとどうか。
　P(z)を
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R＼{0}) ⇒ P(εz(yz=x)))
を満たす述語であるとしましょう。
　y=0では「zy=xとなるzが唯一存在する」が成立たないためにεz(yz=x)が「（普通の意味での商ではない）ナニカある集合」を指す。すると、P(εz(zy=x))が真になるか偽になるかは、Pの内容によるわけです。たとえばP(z)が
　U(z)∧z∈R
である場合と
　z∈R⇒U(z)
である場合では結果が変わる。なので「P(x/y)⇒y≠0」かどうか
　　∀x∀y((x∈R ∧ y∈R) ⇒ (P(εz(yz=x))⇒y≠0)))
の真偽もPの内容による。
　つまり、P(x/y)と一括して扱うのは不適切でしょう。

[2] 次に、胡散臭いεを無しにするために話を実数に限定して、ただし、P(x/y)を (P(z) for z such that yz=x) （これをQ(x,y)と書くことにします）と見たとき、どうか。少し詳細にやってみます。
　　yz=x
を含む命題Q(x,y)を扱うには
　(1) y≠0のとき、 yz=x となるzがある。（このとき、x/yとはzのことである。）
　(2) y=0かつx≠0のとき、 yz=x となるzはない。（このとき、x/yは定義されないナニカである。）
　(3) y=0かつx=0のとき、任意のzについて yz=x。（このとき、x/yは定義されないナニカである。）
と場合分けしなくてはいけないでしょう。
　そこでたとえばS(x,y)を
　　∃z(yz=x ∧ z=9)
とすると、(1)だと真にも偽にもなるが、(2)なら偽、(3)なら真ですから、
　　S(x,y) ⇒ (￢(y=0 ∧ x≠0) ∨ (y=0 ∧ x=0))
つまり
　　S(x,y) ⇒ (x=0 ∨ y≠0)
です。
　また、たとえばT(x,y)を
　　∀z(yz=x ⇒ z=9)
としたとき、(1)だと真にも偽にもなるが、(2)なら真、(3)なら偽ですから、
　　T(x,y) ⇒ ((y=0 ∧ x≠0) ∨ ￢(y=0 ∧ x=0))
つまり
　　T(x,y) ⇒ (x≠0 ∨ y≠0)
です。
　なので、S(x,y) ⇒ y≠0 も T(x,y) ⇒ y≠0 も、真とも偽とも決まらない。
　しかし、x,y,zは実数という限定が付いているとき、さらにxが0でない場合に限れば、(3)のケースが無視できて
　　(Q(x,y) ∧ x≠0) ⇒ y≠0,
　　((P(z) for z such that yz=x) ∧ x≠0) ⇒ y≠0,
つまり、
　　(P(x/z) ∧ x≠0) ⇒ y≠0
ということですね。